4. Свойства функции и её график. Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.

О. Функция, задаваемая формулой называется квадратичной функцией.

Свойства:

1. Область определения функции: .

, т.к. значение квадратного трехчлена однозначно определено для любого действительного числа (почему?).

2. Множество значений функции:

Преобразуем квадратный трехчлен, задающий квадратичную функцию, выделив полный квадрат:

Введем обозначения: тогда .

Выражение может принимать любые неотрицательные значения в зависимости от x. Поэтому, при , а при

3. Периодичность:

Квадратичная функция не может быть периодической, т. к., например, свое значение она

принимает только в одной точке .

4. Чётность/нечётность

Если , то функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), т.к. , то есть и

Если , то функция имеет вид и , значит функция четная.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью : , корни этого уравнения существуют, если , в противном случае точек пересечения с осью абсцисс нет.

Если , то точка пересечения одна и имеет координаты

Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формулам: ,

Поэтому точек пересечения с осью две, и они имеют координаты и

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Если : , то выражение вида для всех . Значит, , .

: , тогда ,

: , где - корни уравнения .

Тогда при значения выражений, стоящих в скобках, будут иметь одинаковые знаки, значит, их произведение будет положительным, и при на данных промежутках квадратичная функция будет принимать положительные значения, а при - отрицательные.

Если , то наоборот, знаки выражений в скобках будут разными и, следовательно, из произведение будет отрицательным.

Тогда при на данном промежутке функция принимает отрицательные значения, а при - положительные.

7. Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Если , то функция является возрастающей при и убывающей при

Если , то функция является возрастающей при и убывающей при

Доказательство:

Пусть .

Рассмотрим разность значений квадратичной функции в точках , таких, что

при чем, . Тогда все три сомножителя в полученном выражении положительны. Это означает, что , т.е. , значит, если , то функция является возрастающей при .

Если , тогда последний сомножитель отрицателен (как сумма двух отрицательных чисел), а первые два положительны, тогда их произведение – отрицательно.

Т аким образом, , и функция убывает при .

Случай рассматривается аналогично (рассмотрите его самостоятельно).

8. Наибольшее/наименьшее значение функции

Так как при функция возрастает на и убывает на , то при функция принимает наименьшее значение, и оно равно .

При функция возрастает на и убывает на , поэтому при функция принимает наибольшее значение и оно равно .