33. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.

Говорят, что натуральное число делится на натуральное число (обозначение: ), если

Делимость на 2

Пусть

Рассмотрим десятичную запись натурального числа :

, где , таким образом, , где

Слагаемое правой части делится на 2, так как содержит множитель 2,

,

Тогда делится на 2 делится на 2, то есть,

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2

Делимость на 3 на 9

Рассмотрим разность между заданным числом и суммой его цифр:

= , где

Так как и , то мы доказали что делится на 9.

, тогда

Пусть теперь сумма цифр числа делится на 3

т.е.

тогда

, то есть

=3q, qN

=9p + 3q = 3(3p + q) = 3i, iN т.е. делится на 3

Пусть теперь сумма цифр числа делится на 9

тогда

, то есть

Вывод:

Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Если сумма цифр натурального числа делится на 9, то и само число делится на 9

Делимость на 5

Пусть

образом, , где

Слагаемое правой части делится на 5, так как содержит множитель 5,

,

Тогда делится на 5 делится на 5, то есть,

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрами 0 и 5

Делимость на 10

Пусть

образом, , где

Слагаемое правой части делится на 10, так как содержит множитель 10,

,

Тогда делится на 10 делится на 10, то есть,

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой 0

34. Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень, его свойства. Корень и арифметический корень п-ой степени

О. Квадратным корнем из числа называется число, квадрат которого равен .

О. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа называется неотрицательное число, квадрат которого равен :

То есть

О. Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, - я степень которого равна а,

Число называется показателем корня

О. Арифметическим корнем – ой степени из числа называется неотрицательное число, -я степень которого равна .

Если - нечетное, то существует корень - й степени из любого числа , и притом только один.

Если - четное, то существует ровно 2 корня –ой степени из любого положительного числа .

По определению .

Замечание: Корней четной степени из отрицательных действительных чисел на множестве действительных чисел не существует.

Свойства арифметического квадратного корня

1.

Доказательство:

Пусть , тогда каждое из выражений имеет смысл.

Покажем, что выполняются условия:

1)

2)

Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то произведение неотрицательно.

Используя свойство степени произведения получим:

Т.о., по определению арифметического квадратного корня при верно равенство:

.

Равенство является тождеством, т.к. оно верно при всех допустимых значениях и .

Данная теорема верна и в случае, когда число множителей под знаком корня больше двух.

Т.о. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей.

2.

Доказательство:

Пусть , тогда каждое из выражений имеет смысл.

Покажем, что выполняются условия:

1)

2)

Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то частное неотрицательно.

Используя свойство степени частного получим:

Т.о., по определению арифметического квадратного корня при верно равенство:

.

3.

Доказательство:

Рассмотрим 2 случая:

1. если , тогда по определению арифметического квадратного корня

2. если , то , поэтому .

По определению модуля:

таким образом, .