Формулы сокращенного умножения.
Доказательство:
(
,т.к.
по определению произведения многочленов,
операции над многочленами обладают
свойствами коммутативности, ассоциативности
и дистрибутивности.)
Доказательство:
.
Доказательство:
.
Доказательство:
.
Доказательство:
Пусть
,
рассмотрим произведение
Доказательство:
Свойства числовых неравенств.
О.
Число
больше числа
,
если разность
–
положительное число; число
меньше числа
,
если разность
– отрицательное число.
Теорема 1.
Если
,
то
;
если
,
то
.
Доказательство.
Если
,
то по определению разность
– положительное число, тогда разность
- отрицательное число, а это значит, по
определению, что
.
И наоборот.
Теорема 2.
Если
и
,
то
.
Доказательство.
По условию
и
,
значит, по определению разность
– отрицательное число и разность
– отрицательное число. Сумма
отрицательных чисел – число отрицательное,
поэтому сумма
– отрицательна. Преобразуем эту сумму
.
Следовательно, разность
– отрицательна и, по определению,
.
Теорема 3.
Если
и
– любое число, то
.
Доказательство.
Преобразуем
разность
.
По условию,
,
поэтому
– отрицательное число. Значит, и разность
- отрицательна. Следовательно,
.
Теорема 4.
Если
и
– положительное число, то
,
Если
и
– отрицательное число, то
,
Доказательство.
Преобразуем
разность
.
Так как
,
то разность
–
отрицательное число. Если
,
то произведение
– отрицательно, и, следовательно,
.
Если
,
то произведение
– положительно, и, следовательно,
.
Следствие.
Если
и
– положительные числа и
,
то
.
Доказательство.
Разделим обе части
неравенства
на положительное число
:
.
Сократив дробь,
получим, что
,
т.е.
.
Теорема 5.
Если
и
,
то
Доказательство.
Прибавим к обеим частям неравенства число , получим .
Прибавим
к обеим частям неравенства
число
,
получим
.
Из неравенств и ,и теоремы 2 следует, что
Теорема 6.
Если
и
,
где
– положительные числа, то
.
Доказательство.
Умножим обе части
неравенства
на положительное число
,
получим неравенство
.
Умножим обе части
неравенства
на положительное число
,
получим неравенство
Из неравенств и и теоремы 2 следует, что .
Свойства числовых равенств.
Числовым равенством
называется числовое выражение, содержащее
знак
Свойство 1.
(если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число, то получится также верное числовое равенство)
Свойство 2.
(если из одной части верного числового равенства перенести в другую часть слагаемое с противоположным знаком, то получится также верное числовое равенство)
Свойство 3.
(если обе части верного числового равенства умножить на одно и то же число, то получится также верное числовое равенство)
Свойство 4.
(если обе части верного числового равенства возвести в одну и ту же натуральную степень, то получится также верное числовое равенство)