Геометрическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
О. Геометрической прогрессией называется последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля.
О. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии q геометрической прогрессии.
Геометрическая
прогрессия задаётся своим первым членом
и знаменателем. Из определения
геометрической прогрессии следует,
что отношение любого её члена, начиная
со второго, к предыдущему члену равно
q, т.е. при любом
натуральном n верно
равенство
.
Формула n-го члена геометрической прогрессии.
Любой член
геометрической прогрессии можно
вычислить по формуле
,
где
-
член прогрессии с номером n,
-
первый член и q – её
знаменатель.
Возьмём произвольное
натуральное n. Из
определения геометрической прогрессии
следует
.
Эта цепочка состоит из n равенств, поэтому для любого конечного n она может быть выписана. Следовательно, любой член геометрической прогрессии можно вычислить, зная его номер, первый член прогрессии и её знаменатель.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии с положительными членами.
Если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то все её члены, начиная со второго, являются средним геометрическим предшествующего и последующего членов.
Доказательство.
Из определения
геометрической прогрессии следует,
что
.
Выразив из этого
равенства
,
получим
.
Так как все члены
прогрессии положительны, то последнее
равенство равносильно следующему
.
Теорема. (формула суммы n первых членов геометрической прогрессии).
Сумма n
первых членов геометрической
прогрессии равна
,при
.
Доказательство.
Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна
.
Домножим обе части
этого равенства на знаменатель
геометрической прогрессии
.
Следовательно,
.
Вычтем полученное равенство из
.
Получим:
.
Отсюда следует,
что
.
При
это равенство равносильно доказываемому.
Теорема доказана.
Следствие.
,
при
.
Доказательство.
Выразим по формуле n-го члена геометрической прогрессии и подставим в формулу (1).
Геометрическая
прогрессия называется бесконечно
убывающей, если её знаменатель
q по абсолютной величине меньше
единицы
.
О. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому неограниченно приближается сумма n первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии при неограниченном увеличении n.
Сумма
бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна
.
Приложение
Тригонометрическая окружность
