8. Наибольшее/наименьшее значение функции.

Т.к. функция возрастает на и убывает на , то точка – точка максимума функции, а точка - точка минимума функции.

В силу периодичности функции получаем, что наибольшее значение функции, равное 1, достигается при , а наименьшее значение, равное , достигается при .

9. График функции.

О. График функции называется синусоидой (рис. 6)

8. Свойства функции и её график

Рассмотрим окружность с центром, расположенным в начале координат, и радиусом, равным единице (это так называемая тригонометрическая окружность).

Для любого действительного числа можно провести радиус ON этой окружности, образующий с осью угол, радианная мера которого равна числу (положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки). (рис 7)

О. Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, задающего угол , называется косинусом угла и обозначается .

Т.к. каждому значению величины угла на тригонометрической окружности соответствует единственная точка , такая, что радиус ON образует угол с осью , то данное определение задает функцию .

Свойства:

1. Область определения функции: .

Т.к. для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса, то область определения функции : .

2. Множество значений функции:

Теорема.

Множеством значений функции является промежуток

Доказательство:

Действительно, абсцисса всякой точки, являющейся концом радиуса тригонометрической окружности, может принимать лишь значения из отрезка _.

С другой стороны, для значения абсциссы из этого отрезка можно указать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту абсциссу.

Следовательно, это значение будет косинусом угла, образованного положительным направлением оси и радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку.

3. Периодичность:

Теорема.

Наименьший положительный период функции равен

Доказательство:

Т.к. центральный угол, соответствующий полной окружности, равен , то точки, соответствующие углам изображаются на тригонометрической окружности одной и той же точкой, следовательно, косинусы этих углов равны.

Это означает, что число является периодом рассматриваемой функции.

Докажем, что - наименьший положительный период.

Рассмотрим значение функции , равное 1. Оно достигается только при .

Значит, никакое число, меньшее , не может быть периодом. Значит, что - действительно наименьший положительный период функции

4. Чётность/нечётность

Рассмотрим точки M и N, соответствующие на тригонометрической окружности углам и . Поскольку всякая окружность симметрична себе относительно своего диаметра (диаметр тригонометрической окружности лежит на оси ), а равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точки M и N симметричны относительно оси , следовательно, их абсциссы равны. Это означает, что при выполняется равенство , т.е. функция является четной.