2. Свойства функции и её график

О. Функция вида: , где называется линейной функцией.

Свойства:

1. Область определения функции

, т.к. значение выражения однозначно определяется (почему?).

2. Множество значений функции:

Если , то множество значений состоит из одного числа b, , т.к. значение выражения в этом случае равно b.

Если , то множеством значений функции будет множество , т.к. .

3. Периодичность:

Теорема.

Если , то функция является периодической и её период – любое действительное число.

Если , то функция не является периодической.

Доказательство:

• При утверждение верно, т.к. функция при всех значениях х принимает одно значение, равное b.

• Пусть , предположим, что линейная функция имеет период , т.е.

, т.к. по условию , значит предположение о том, что линейная функция имеет период , не верно, и при линейная функция не является периодической.

4. Чётность/нечётность

Если , то функция не является ни чётной, ни нечётной, т.к.

, а и

Если , то функция имеет вид: , и , значит, функция является чётной.

Если , то функция имеет вид: , и , значит, функция является нечётной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью если

Точки пересечения с осью

Тогда если

Если

Если

Если

6. Промежутки знакопостоянства функции (промежутки, на которых функция сохраняет свой знак):

   1. если , то , значит, функция не меняет своего знака на всей области определения: если , если

   2. если , то

:

3. если , то

:

7. Промежутки монотонности (Интервалы возрастания/убывания функции)

Теорема.

Если , то функция - постоянное число (b=const),

Если то функция возрастает_,

Если , то функция убывает.

Доказательство:

Возьмем произвольные такие, что и рассмотрим разность:

• если , то - функция постоянна

• если , то функция возрастает

• если , то функция убывает

8. Наибольшее/наименьшее значение функции

Функция не имеет наименьшего и наибольшего значения, т.к. её множеством значений является всё множество .

9. График функции

Графиком линейной функции является прямая (рис 1).

3. Свойства функции и её график

О. Функция вида , где , называется обратной пропорциональностью.

Свойства:

1. Область определения функции

Выражение однозначно вычисляется , при это выражение не определено (почему?), значит

2. Множество значений функции

Уравнение при всех значениях имеет единственный корень, равный

Если , то уравнение корней не имеет, значит

3. Периодичность.

Теорема.

Функция не является периодической.

Доказательство:

Пусть функция является периодической с периодом . Это значит, что .

Рассмотрим разность:

,

значит предположение о том, что функция обратная пропорциональность имеет период не верно, и функция обратная пропорциональность не является периодической.

4. Чётность/нечётность.

Функция нечётная, т.к. область определения является симметричной относительно нуля и

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Т.к. уравнение не имеет корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью абсцисс.

Так как , то график функции точек пересечения с осью ординат не имеет.

6. Промежутки знакопостоянства функции.

• При : и

• При : и

7. Интервалы возрастания/убывания функции.

Теорема.

Если то функция убывает при и при

Если , то функция возрастает при и при

Доказательство:

Пусть , тогда возьмем произвольные , пусть для определенности , тогда , то есть , значит функция убывает при .

Теперь возьмем произвольные , и так же для определенности пусть ,

тогда рассмотрим разность (почему?),

то есть , значит функция убывает при .

Аналогично при : возьмем произвольные , пусть для определенности , тогда , то есть , значит функция возрастает при .

Теперь возьмем произвольные , и так же для определенности пусть , тогда , то есть , значит функция возрастает при .

Замечание: Функция не является монотонной на всей своей области определения !!!!!!!

Действительно, например, , если , то , что не верно, т.к. при функция является убывающей и по определению большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

8. Наибольшее/наименьшее значение функции.

Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения, т.к. её

9. График функции.

График функции имеет две асимптоты – вертикальную и горизонтальную .

О . График функции называется гиперболой и расположен в первой и третьей координатных четвертях, если ; и во второй и четвертой, если . (рис.2).