1. Основні відомості про вектори.

ОЗ 1 Вектором (геометричним вектором) називається множина всіх напрямлених відрізків, що мають однакову довжину та напрямок.

Про всякий відрізок з цієї множини кажуть, що він представляє вектор . З означення випливає, що вектори можна переносити паралельно самим собі. У зв'язку з цим розглядувані вектори називають вільними.

ОЗ 2 Довжина відрізка називається довжиною (модулем, нормою) вектора і позначається символом

ОЗ 3 Два вектори та називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Позначення: .

ОЗ 4 Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать на одній площині або на паралельних площинах.

ОЗ 5 Вектор, початок і кінець якого збігаються, наз. нульовим і позначають .

Можна вважати, що нульовий вектор має довільний напрям, а його довжина дорівнює нулю, тобто .

ОЗ 6 Ортом даного вектора наз. вектор, довжина якого дорівнює одиниці, а напрям збігається з напрямом даного вектора . Орт вектора позначають , причому і .

2. Лінійні операції над векторами.

Лінійними операціями над векторами є операції (дії) їх додавання та множення дійсного числа на вектор.

ОЗ 7 Добутком числа на вектор наз. вектор , що має довжину , і напрям якого збігається з напрямом вектора , якщо , і протилежний йому, якщо .

ОЗ 8 Протилежним вектором наз. вектор, отриманий множенням числа (-1) на вектор , тобто .

ОЗ 9 Сумою векторів і називається вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець – із кінцем вектора за умови, що початок вектора збігається з кінцем вектора (правило трикутника).

Вектор , очевидно, є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (правило паралелограма).

Сумою кількох векторів є вектор, що сполучає початок першого вектора й кінець останнього за умови, що початок кожного наступного вектора збігається з кінцем попереднього (правило многокутника).

ОЗ 10 Різницею векторів і наз. суму векторів й вектора , протилежного .

Неважко переконатися, що в паралелограмі, побудованому на векторах і , одна діагональ є сумою цих векторів, а інша – їх різницею.

Теорема 1 (Необхідна й достатня умова колінеарності векторів) Два ненульові вектори колінеарні тоді й лише тоді, коли , де – деяке дійсне число.

3. Кут між векторами. Проекція вектора на вісь. Координати вектора.

Нехай задано два вектори і . Кутом між ними називають , на який потрібно повернути один із векторів, щоб його напрям збігся з напрямом іншого вектора. Вважають, що . Якщо початки векторів і не збігаютсья, то кутом між ними наз. кут між векторами і , де і .

Нехай . Проведемо через т. і прямі, перпендикулярні до вектора . Позначимо т. перетину цих прямих із вектором через і .

Проекція вектора на напрям вектора дорівнює довжині вектора , помноженій на косинус кута між векторами і :

Нехай у просторі задано систему координат і довільний вектор . Розглянемо проекції вектора на координатні осі. Нехай пр , пр і пр .

ОЗ 11 Проекції вектора на осі координат називають його координатами. При цьому записують

Довжина вектора обчислюється за формулою