1. Поняття екстремуму функції 2-ох змінних.

Функція багатьох змінних має максимум (мінімум) в т. , якщо для усіх точок із достатньо малого околу т. .

ОЗ 12 Максимуми та мінімуми ФКЗ називають екстремумами функції, а т. , де функція має екстремум, називають т. екстремуму функції.

Теорема 4 (Необхідні умови існування екстремуму). Якщо функція має екстремум в т. , то кожна частинна похідна першого порядку функції дорівнює нулю або не існує в цій т.

Наслідок. Т., в яких не існують або дорівнюють нулю називають критичними точками або підозрілими на екстремум.

Теорема 5 (Достатні умови існування екстремуму). Нехай в околі критичної т. ф. має неперервні частинні похідні другого порядку включно,

Тоді:

• має максимум, якщо та

• має мінімум, якщо та

• не має екстремуму, якщо

• якщо тоді екстремум в т. може існувати, а може і не існувати, тобто в цьому випадку треба використовувати іншу достатню ознаку.

2. Найбільше і найменше значення функції в замкненій області.

Для знаходження найбільшого і найменшого значень функції у замкненій області , які позначаються відповідно, треба знайти екстремальні значення функції в т. що лежать всередині та на межі обл., і обрати найбільше та найменше значення.

3. Умовний екстремум.

ОЗ 13 Екстремум функції (1) при виконанні умови називається умовним екстремумом функції.

Функція (1) має умовний максимум (мінімум) в т. , якщо існує такий окіл т. , для всіх т. якого, що задовольняє рівняння зв'язку , виконується нерівність

Задача знаходження умовного екстремуму зводиться до дослідження на звичайний екстремум функції Лагранжа

де – множник Лагранжа.

Для знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа треба:

1. Знайти критичні т. ф. Лагранжа, використовуючи необхідні умови існування екстремуму:

2. Перевірити в кожній критичній точці достатні умови існування екстремуму:

а) Якщо в т. визначник третього порядку

додатний, то т є т. максимуму і

б) якщо визначник , тоді т. є т. мінімуму і

Тема: Похідна за напрямом. Градієнт.

План.

1. ОЗ похідної за напрямом та її знаходження.

2. Поняття градієнта функції та його знаходження.

3. Зв'язок між похідною за напрямом і градієнтом функції.

1. Оз похідної за напрямом та її знаходження.

Нехай ф. (2) визначена в деякому околі т. . Частинні похідні і виражають швидкість зростання ф. в додатному напряму осей і відповідно. Але для ф. (2) можна поставити питання про швидкість її зростання в точці в довільному напрямі.

Розглянемо деякий напрям, що задається вектором , де . Тоді похідна від ф. (2) за напрямом виражається формулою

Очевидно, що цю формулу можна поширити на багатовимірний випадок для функції , а саме:

2. Поняття градієнта функції та його знаходження.

ОЗ 14 Градієнтом функції (2) у т. називають вектор, координати якого дорівнюють частинним похідним функції в цій т.:

Градієнт ф. характеризую напрям і значення максимальної швидкості зміни ф. в даній т.