3. Якщо не змінює свого знака в околі т. , то задана ф. Не має локального екстремуму в т. .
Теорема 9 (достатні умови екстремуму II) Нехай функція двічі диференційовна в критичній точці і в деякому її околі. Тоді, якщо:
1)
,
то
– точка максимуму;
2)
,
то
– точка мінімуму;
3) То потрібне додаткове дослідження.
4. Найбільше і найменше значення ф. На відрізку.
Алгоритм
знаходження найбільшого і найменшого
значення ф.
на відрізку
.
1)
Знайти похідну ф.
.
2)
Прирівняти знайдену похідну до нуля і
розв'язати отримане рівняння
.
3) Якщо розв'язки рівняння отримані в пункті 2) належать відрізку , то знайти значення ф. в цих т.
4) Знайти значення ф. на кінцях відрізку .
5) Зі значень ф., знайдених у пунках 3), 4), вибрати найменше і найбільше.
Тема: Опуклість вниз і вгору графіка ф. Загальна схема дослідження графіка ф.
План.
1. Опуклість вниз і вгору графіка ф.
2. Т. перегину. Необхідні і достатні умови т. перегину.
3. Загальна схема дослідження графіка ф.
1. Опуклість і вгнутість графіка ф.
ОЗ 13 Графік ф. на наз. опуклим униз, якщо він розміщений не нижче за довільну дотичну, проведену до графіка ф. на , і опуклим угору, якщо він розміщений не вище за довільну дотичну, проведену до графіка ф. на .
Теорема
10 Якщо
ф.
має на
другу похідну і
на
,
то графік опуклий униз на
.
Якщо
на
,
то графік опуклий угору на
.
2. Т. Перегину. Необхідні і достатні умови т. Перегину.
ОЗ
14 Т.
наз. т. перегину графіка ф.
,
якщо в цій т. графік має дотичну й існує
такий окіл т.
,
у межах якого якого характер опуклості
графіка різний.
У т. перегину дотична перетинає графік. ф.
Теорема
11 (необхідні
умови т. перегину) Нехай графік ф.
перегинається в т.
і ф.
має в т.
неперервну другу похідну. Тоді
Т.
в яких
не існує або
,
називатимемо критичними т. другого
роду.
Теорема 12 (достатні умови т. перегину) Нехай ф. у деякому околі т. має другу похідну різних знаків зліва і справа від т . Тоді т є т. перегину графіка ф. .
3. Загальна схема дослідження графіка ф.
ОЗ
15 Ф.
наз. парною, якщо для всіх
справджується рівність
,
і непарною, якщо
В іншому випадку ф.
наз. ф. загального вигляду, або ні парною,
ні непарною.
ОЗ
16 Ф.
наз. періодичною з найменшим періодом
,
якщо для всіх
із обл. визначення ф. справджується
рівність
.
1)
знайти область визначення ф;
2)
дослідити ф. на парність, непарність,
періодичність;
3)
знайти т. перетину з осями координат;
обчислюємо
,
обчислюємо
.
4)
знайти асимптоти графіка ф. і границі
ф. в
;
5) знайти проміжки монотонності, екстремуми ф. і значення ф. в т. екстремуму;
6)
знайти напрями опуклості графіка ф., т.
перегину і значення ф. в т. перегину;
7) побудувати графік ф. за результатами дослідження.
Тема: Невизначений інтеграл.
План.
1. Основні поняття.
2. Основні властивості невизначеного інтеграла.
3. Таблиця інтегралів.
4. Безпосереднє інтегрування.