2. Основні правила диференціювання.

Теорема 5 Якщо ф. і диференційовні в т. , то ф. і (за умови, що ) також диференційовні в цій т., причому справджуються такі формули:

Доведемо першу формулу. Розглянемо ф. . Надамо аргументові приросту . Тоді ф. дістане приріст

Використавши ОЗ і теорему про арифметичні дії над границями, одержимо

Довели формулу 1.

Наслідок. З формули 2. при , маємо

3. Таблиця похідних.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

4. Похідні вищих порядків.

Нехай ф. має похідну на проміжку . Якщо в т. похідна , своєю чергою, диференційовна, то її наз. похідною другого порядку, або другою похідною, ф. у т. . Позначення:

Похідну від другої похідної наз. третьою похідною, або похідною третього порядку. Якщо цей процес можна продовжити, то дістанемо похідні четвертого, п'ятого,..., -го порядку.

Похідні, починаючи з другої, наз. похідними вищих порядків. Для них використовують такі позначення: .

ОЗ 8 Ф. , яка має на деякому проміжку похідні до -го порядку включно, наз. разів диференційовною на . Ф., яка має на похідні всіх порядків, наз. нескінченно диференційовною на .

5. Зміст похідної.

Геометричний.

ОЗ 9 Дотичною до графіка ф. наз. граничне положення січної , коли т. прямує до т. по графіку .

Похідна ф. у т. чисельно дорівнює кутовому коефіцієнтові дотичної, проведеної до графіка ф. у т. .

Рівняння дотичної має вигляд

ОЗ 10 Нормаллю до графіка ф. у т. наз. пряму, яка перпендикулярна до дотичної і проходить через т. дотику .

Рівняння нормалі має вигляд

Фізичний.

Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості тіла в момент часу , що рухається за законом , тобто

Тема: Похідна функції заданої неявно та параметрично. Монотонність ф. Екстремум ф.

План.

1. Похідна неявної ф. Похідна ф., заданої параметрично.

2. Монотонність ф.

3. Умови локального екстремуму.

4. Найбільше і найменше значення ф. на відрізку.

1. Похідна неявної ф.

Розглянемо диференціювання неявної ф., заданої рівнянням . Похідну ф., заданої неявно, можна знайти з рівняння

де розглядається як складна ф. аргументу .

Отже, для відшукання похідної ф., заданої неявно, достатньо здиференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи як ф. від , а потім з добутого рівняння знайти похідну .

Похідна ф., заданої параметрично.

Якщо ф. задана параметрично рівняннями:

то похідна та друга похідна від неї обчислюється за формулами

2. Монотонність ф.

Функція називається зростаючою на інтервалі , якщо для для будь-яких і таких, що , виконується нерівність . Якщо ж при виконується нерівність , то функція називається спадною.

З'ясуємо, як за відомою похідною ф. можна робити висновок про зростання (спадання) самої ф. на проміжку.

Теорема 6 Якщо ф. диференційовна на проміжку , то:

1) при вона зростає на ;

2) при вона спадає на .

Інтервали зростання та спадання функції називаються інтервалами монотонності.

3.Умови локального екстремуму.

ОЗ 11 Т. наз т. локального мінімуму ф. , якщо при всіх у деякому околі т. виконується нерівність

ОЗ 12 Т. наз т. локального максимуму ф. , якщо при всіх у деякому околі т. виконується нерівність

Т. локального максимуму й локального мінімуму наз. т. локального екстремуму, а значення ф. в цих т. – її екстремумами.

Теорема 7 (необхідна умова локального екстремуму) Якщо ф. диференційовна в т. і має в цій т. локальний екстремум, то .

Геометричний зміст: у точках локального екстремуму дотичні до графіка ф. паралельні осі .

Таким чином, теорема 7 дає необхідні, але не достатні умови локального екстремуму.

Т., в яких похідна дорівнює нулю, наз. стаціонарними. Стаціонарні т., а також т., де похідна не існує, наз. критичними т., або т. можливого екстремуму.

Нехай є т. можливого екстремуму для ф. .

Теорема 8 (достатні умови екстремуму I) Нехай ф. неперервна в деякому околі т. , диференційовна в цьому околі, за вийнятком, можливо, самої т. . Тоді:

1. Якщо в т. похідна змінює свій знак з + на -, то – т. локального максимуму;

2. Якщо в т. похідна змінює свій знак з - на +, то – т. локального мінімуму;