1.3. Примеры тензоров второго ранга. Тензор напряжений

1) В классической механике твердого тела в каждой его точке вводят понятие тензора моментов инерции . Этот тензор переводит вектор угловой скорости в вектор кинетического момента относительно рассматриваемой точки тела (рис. 1.5):

(1.3.1)

В выбранном базисе тензор можно представить в компонентном виде следующим образом:

(1.3.2)

Рис. 1.5. Перевод вектора угловой скорости в вектор кинетического момента

Матрица компонент этого тензора второго ранга имеет вид:

Она является симметричной относительно главной диагонали, . На этой диагонали находятся осевые моменты инерции, вне ее – центробежные.

Покажем, что тензор действительно переводит вектор в вектор :

Но величина есть компонента некоторого вектора , которую можно обозначить как « -тая» компонента , причем по индексу идет суммирование. В итоге:

Структура тензоров моментов инерции определяется выражением []:

(1.3.3)

В этом интеграле по объему – плотность материала в рассматриваемой точке, положение которой относительно точки О определяется радиус-вектором . Запишем этот тензор в компонентном виде в базисе , учитывая что :

Отсюда видно что компоненты тензора моментов инерции:

При имеем выражение для осевого момента инерции:

При получаем выражение для центробежного момента:

Очевидно . Остальные компоненты тензора можно получить аналогично, они принимают вид:

2) Тензор напряжений.

Тензор напряжений , следуя Коши, вводят в рассмотрение следующим образом:представляют элементарный объем , рассеченным на две части (рис. 1.6) и ставят вопрос о воздействии отброшенной части на оставшуюся. Это воздействие характеризуется вектором напряжений . Вообще говоря, вектор зависит от ориентации площадки, определяемой единичной нормалью . Эта зависимость, следуя Коши, принимается линейной. Тогда из определения понятия тензора второго ранга как оператора, связывающего два вектора, следует, что

(1.3.4)

Тензор называется тензором напряжений. Вектор рапряжения зависит от ориентации площадки.

Рис. 1.6. К определению тензора напряжений – воздействие отброшенной части на оставшуюся.

Тензор напряжений в терминах компонент может быть записан в виде:

(1.3.5)

Его компоненты образуют матрицу, которая является симметричной:

(1.3.6)

На главной диагонали стоят нормальные напряжения, вне ее – касательные. Для описания движения жидкости необходимо связать тензор с деформационными характеристиками жидкости, которые зависят от сжимаемости и вязкости ее.

Рассмотрим физический смысл компонент тензора напряжений. Для этого в окресности рассматриваемой точки жидкости покажем элементарный кубик гранями, перпендикулярными осям координат и тем самым базисным векторам (рис. 1.7). На грань, перпендикулярную оси действует сила , которая находится согласно определению тензора:

Компоненты вектора , действующего на грань, перпендикулярную оси , показаны на рис.1.7.

Рис. 1.7. Компоненты тензора напряжений

Аналогичным образом для граней, перпендикулярных осям и , можно указать векторы и , приложенные к этим граням:

Компоненты этих сил также показаны на рис. 6. Из сказанного видно, что компонента тензора напряжений обозначает силу, приложенную к площадке с нормалью , т.е. перпендикулярной оси . Т.е., например, есть вектор, приложенный к площадке, перпендикулярной оси , в направлении оси .

Согласно Коши [] тензор напряжений является симметричным, что означает симметрию компонент относительно главной диагонали, т.е. . Это следует из известного закона парности касательных напряжений, согласно которому выполняется следующее равенство значений компонент []:

Физический смысл этих равенств – отсутствие главного момента сил, действующих на элементарный объем, относительно центра масс этого объема.

Замечание. Если отказаться от этого предположения Коши, то придется вводить в рассмотрение тензор моментальных напряжений . Теории, учитывающие этот тензор при описании поведения жидкости, называются моментными. Они сложны, громоздки и редко используются в современной механике.

Пользуясь введенным понятием тензор напряжений, запишем известный закон Паскаля в тензорном виде. Этот закон гласит, что для покоящейся жидкости сила давления в ней не зависит от ориентации площадки и всегда направлена по нормали к ней (рис. 1.8). Отсюда:

(1.3.6)

где – давление в рассматриваемой точке.

Рис. 1.8. Вектор напряжения по закону Паскаля.

Равенство (1.3.6) можно переписать в несколько другом виде, используя выражение (1.3.4) для вектора напряжений и понятие тензорной единицы :

После несложной цепочки преобразований имеем:

откуда следует:

(1.3.7)

Это и есть закон Паскаля в тензорном виде. Отсюда имеем выражение для тензора напряжений:

(1.3.8)

В компонентном виде , т.е. матрица тензора напряжений имеет вид:

Видно, что нормальные напряжения равны между собой, а касательные равны нулю. А поскольку для идеальной жидкости и при движении нет касательных напряжений (нет сил вязкости), то тензор напряжений в ней всегда записывается в виде (1.3.8).

В случае течения вязкой жидкости появляется добавочная слагаемая:

(1.3.9)

где – тензор вязких напряжений, который записывается согласно закону вязкого трения Ньютона [].