СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГИДРОМЕХАНИКИ

Павловский В.А.

Никущенко Д.В.

Санкт-Петербург, 2011

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГИДРОМЕХАНИКИ 1

Введение 4

1. Математический аппарат гидродинамики. Краткие сведения из тензорного исчисления 8

1.2. Векторы и тензоры. Базисные элементы декартовой прямоугольной системы координат 12

1.3. Примеры тензоров второго ранга. Тензор напряжений 19

1.4. Элементы тензорной алгебры. Простейшие операции над тензорами. 24

1.5 Инварианты тензоров и тензорные поверхности. 30

1.6 Поля физических величин. Элементы тензорного анализа. 46

2. Уравнения неразрывности, движения, энергии 57

2.1. Градиент скорости и связанные с ним кинематические тензоры 57

2.2. Операции с тензорами градиента скорости, скоростей деформации и тензора вращения, и их инварианты 59

2.2 Дифференциальные операторы для поля скоростей 63

2.3. Уравнение неразрывности 72

2.4 Уравнения движения жидкости с постоянными и переменными физическими свойствами. 75

2.5. Уравнение баланса механической энергии потока. 79

2.6. Уравнение энергии движущейся жидкости и его различные формы записи. 83

2.7. Запись уравнения энергии как скалярной величины теплоты (возможная альтернатива закону Фурье). 92

2.8. Материальные производные в уравнениях переноса и их дивергентный вид. 101

Материальная, конституитивная производная тензора второго ранга. 105

О дивергентном виде. 106

2.9. Формула И.С. Громеки и другие связанные с ней соотношения. 113

2.10. Вихрь скорости и его ассоциированный тензор 119

2.11. О вязкостях и 128

Введение

Для выполнения расчётов течений жидкостей и газов система уравнений гидродинамики должна быть замкнутой – число уравнений должно соответствовать числу неизвестных. При этом соответствие должно выполняться и по рангам тензорных объектов – для неизвестной тензорной величины ранга и соответствующее уравнение должно быть того же ранга. Так, например, если в состав неизвестных величин входят, например, две скалярных величины (тензоры нулевого ранга), одна векторная (тензор первого ранга) и одна тензорная второго ранга, то система уравнений должна содержать два скалярных уравнения, одно векторное и одно тензорное.

Для течений несжимаемой жидкости неизвестными величинами являются давление и скорость частиц жидкости. Соответственно замкнутая система уравнений состоит из двух - одного векторного - уравнения движения (Эйлера или Навье-Стокса) – и одного скалярного – уравнения неразрывности. В случае учета сжимаемости появляется еще одна неизвестная величина – плотность . Это влечет за собой необходимость для замыкания системы уравнений записи еще одного скалярного уравнения. В качестве такового в гидродинамике выступает уравнение энергии. Но в этом уравнении, кроме плотности содержится новая неизвестная скалярная величина – температура (или связанная с ней, либо энтальпия h, либо внутренняя энергия ). Система из трех уравнений – движения, неразрывности и энергии – вновь оказывается незамкнутой – для ее замыкания необходимо ввести в рассмотрение еще одно скалярное уравнение. Этим уравнением является термодинамическое уравнение состояния, связывающее между собой три термодинамических параметра – скалярные величины . В качестве уравнения состояния при описании течений газов (в газовой динамике, являющейся разделом динамики) обычно используют уравнение Менделеева-Клайперона для совершенного газа (газа, являющегося идеальным и для которого теплоемкости и являются константами, значения которых дает молекулярно-кинетическая теория газов). В более сложных случаях, когда газ не является совершенным или сжимаемая жидкость является капельной, термодинамическое уравнение состояния дают специальные разделы термодинамики. В итоге система уравнений сжимаемой жидкости оказывается замкнутой.

Для замыкания системы уравнений, описывающих течения многокомпонентных сред, когда в рассмотрение вводятся массовые (или молярные в ряде случаев) концентрации отдельных компонент, приходится записывать уравнения диффузии для каждой компоненты. Если же между компонентами к тому же происходят химические реакции (задачи теории горения), то появляются новые скалярные величины, связанные с выделением (или поглощением) тепла и для замыкания системы уравнений в нее необходимо привлекать уравнения химической кинетики.

Процесс усложнения замкнутой системы уравнений по мере необходимости учета все более и более специфических черт течений жидкости может продолжаться сколь угодно далеко. Так, например, при движении проводящих сред (предмет изучения магнитной гидродинамики) в уравнениях движения появляются пондеромоторные (лоренцовы) силы, в которых фигурируют векторы напряженности электрического поля и магнитной индукции , для замыкания привлекаются векторные уравнения – уравнения Максвелла.

Все сказанное выше относилось к сравнительно медленным, плавным, слоисто-ламинарным течениям. В случае турбулентного режима все физические величины, фигурирующие в соответствующей замкнутой системе уравнений, рассматриваются как мгновенные, которые в каждой точке потока пульсируют относительно некоторого осредненного (по времени или по пространству) значения. Разбиение этих мгновенных величин на сумму осредненных и пульсационных значений и последующая процедура осреднения уравнений (по Рейнольдсу или по Фруду для сжимаемых сред) приводит к появлению новых неизвестных – корреляций пульсационных величин, число которых растет по мере увеличения числа уравнений, потребных для описания рассматриваемого течения. Возникают проблемы для замыкания турбулентного режима – нужны новые уравнения для вновь возникающих неизвестных корреляций. Замкнутая система уравнений для турбулентного режима течения становится намного сложнее по сравнению с ламинарным режимом.

В самом простом случае течения – течения несжимаемой вязкой жидкости, когда система уравнений состоит из двух – неразрывности и Навье-Стокса – процедура осреднения приводит к появлению тензора корреляций пульсаций скорости, который в литературе называют тензором напряжений Рейнольдса (отнесенного к единице массы движущейся жидкости). Система уравнений становится незамкнутой, возникает необходимость дополнить ее каким-либо тензорным уравнением относительно этого нового тензора второго ранга, возникшего при переходе к рассмотрению турбулентного режима течения. Если далее на основе уравнения Навье-Стокса получить уравнение переноса для этого тензора второго ранга, возникают новые неизвестные величины – корреляционные пульсации скорости в виде тензора третьего ранга в сочетании с сопутствующим неизвестными тензорами меньших рангов. Запись уравнения переноса для возникающего тензора третьего ранга порождает тензор пульсаций четвертого ранга и т.д. Возникает цепочка уравнений переноса тензоров для пульсационных характеристик потока все более и более высокого ранга, которая в литературе по турбулентности называется цепочкой Фридмана-Келлера. В итоге система уравнений даже для течения несжимаемой жидкости невозможно сделать замкнутой при использовании только строгих математических процедур. Это и составляет суть проблемы замыкания в теории турбулентности. Решение ее на современном этапе развития теории турбулентности выполняют на чисто эмпирическом уровне – обрывая в каком-либо месте цепочку Фридмана-Келлера. Так, если эта цепочка обрывается уже в самом ее начале, когда только возникает тензор второго ранга для пульсационных величин, то соответствующую полуэмпирическую теорию турбулентности называют теорией первого порядка. Эти теории дают алгебраическую связь между тензором напряжений Рейнольдса и тензором осредненных скоростей деформаций, используя гипотезу Буссинеска о турбулентной вязкости. При этом, эта турбулентная вязкость может быть записана или через осредненные градиенты скоростей (теории Л. Прандтля, Т. Кармана, В.В. Новожилова и другие), или через осредненные пульсационные характеристики течения, которые определяются своими соответствующими дифференциальными уравнениями переноса (модели , и другие).

Теории турбулентности второго порядка решают проблему замыкания с помощью записи уравнения переноса для тензора напряжений Рейнольдса. С помощью этого тензорного дифференциального уравнения и решается в этом случае проблема замыкания, попутно записывая полуэмпирические соотношения для вновь возникших тензоров пульсационных величин. Такого рода тензорные уравнения переноса получают распространение в настоящее время, чему способствует развитие вычислительной техники.

В данной работе рассмотрены проблемы замыкания, возникающие в гидродинамике при рассмотрении тех или иных течений жидкости. При изложении материала широко используется математический аппарат прямого тензорного исчисления, позволяющий компактно и прозрачно (с точки зрения физического смысла) записывать тензорные соотношения. Дифференциальные уравнения переноса приводятся к дивергентному виду для облегчения проведения вычислительных процедур.

Дается обзор и проводится обсуждение современных моделей турбулентности, используемых при проведении расчетов турбулентных течений с помощью пакетов прикладных программ (типа Fluent, Ansys).

Поскольку для турбулентного режима при выполнении процедур осреднения возникает большое число новых неизвестных корреляций пульсационных величин в виде тензоров различных рангов, а для их конкретизации и тем самым для замыкания соответствующих систем уравнений требуется все новые и новые уравнения связи такого рода тензоров с другими, то в работе рассматриваются вопросы получения самых разнообразных тензорных соотношений, связанных пульсациями физических величин. Для этого обсуждаются вопросы получения новых уравнений переноса из комбинаций уравнений неразрывности, движения и энергии.