Формулы дифференцирования

Если функции и дифференцируемы в точке , то в точке дифференцируемы функции , , , , и справедливы формулы:

• ;

• ;

• ;

• .

2.2. Производная сложной функции

Если , а является функцией независимой переменной : , то называется сложной функцией переменной . Переменная при этом называется промежуточной. Производная по функции имеет вид . Аналогичное правило имеет место и в случае, когда сложная функция задается цепочкой, содержащей три и более звена. Например, если , то . Практическую реализацию этого правила покажем на примерах.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Дифференцируем сначала тангенс, учитывая, что роль промежуточного аргумента выполняет . Получим . Теперь мысленно зачеркнем значок “ ” и видим перед собой выражение . Дифференцируем корень: и мысленно закрываем значок корня. Остается . Дифференцируем логарифм (промежуточным аргументом является ): . После вычеркивания значка “ ” появляется , что при дифференцировании даст . Теперь запишется в виде произведения всех промежуточных результатов дифференцирования:

.

Пример. Найти производную функции .

Решение.

=

.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Применяя правило дифференцирования сложной функции и суммы, получим

2.3. Дифференцирование неявной функции

Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то называется неявной функцией . Нахождение производной функции, заданной неявно, заключается в том, что обе части уравнения дифференцируются по . С учетом того, что есть функция , и из полученного уравнения определяется .

Пример. Найти производную от функции, заданной неявно .

Решение. Так как является функцией от , то будем рассматривать как сложную функцию от . Следовательно . Продифференцировав по обе части данного уравнения, получим:

, .

Пример. Найти , если .

Решение. При дифференцировании последнего слагаемого надо применить формулу для дифференцирования произведения и тогда

.

Поэтому получаем

.

Сокращаем на 3, раскрываем скобки, переносим члены, не содержащие , в правую часть равенства и получаем

,

отсюда

.

3. Применение производной к исследованию функции

Понятие производной удобно применять для аналитического исследования свойств функции и построения ее графика.

Областью определения функции называют множество значений аргумента , при которых функция определена.

Функция называется четной, если выполняется условие . При этом график функции симметричен относительно оси . Функция называется нечетной, если выполняется условие . При этом график функции симметричен относительно начала координат точки . Если функция не является ни четной, ни нечетной, то эта функция общего вида. Функция называется периодической с периодом , если выполняется условие .

Функция называется возрастающей на не­котором интервале, если для любых двух чисел и из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Функция называется убывающей на не­котором интервале, если для любых двух чисел и из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.