4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является определение для заданной функции ее производной или ее дифференциала .

Обратная задача, состоящая в определении функции по ее известным производной или дифференциалу , представляет собой основную задачу интегрального исчисления.

Определение.

Первообразной функцией функции , определенной на некотором промежутке, называется функция , существующая на том же промежутке и удовлетворяющая условию

или .

Процесс нахождения первообразной функции для заданной функции называется ее интегрированием.

Если функция является первообразной для функции , то и функция , где – производная постоянная величина, также является первообразной функции . Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет их бесчисленное множество, причем все они отличаются одна от другой только постоянным слагаемым.

Определение.

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех ее первообразных и обозначается:

Здесь знак интеграла, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, – переменная интегрирования, – произвольная постоянная величина.

Основные свойства неопределенного интеграла

1^о	Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла .
2^о	Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной .
3^о	Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению а) ; б) .
4^о	Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций .