МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Донецкий государственный университет экономики и торговли
им. М.Туган-Барановского
Кафедра высшей и прикладной математики
Е.К.Узбек, Ю.В.Сухова, Н.Н.Ивахненко
Методические рекомендации
для практических занятий и самостоятельной работы
студентов УФФ заочного отделения
Донецк 2004
ББК 22.1я73
У 34
УДК 378.147:51
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент С.В.Скрыпник
доцент В.М.Дрибан
Узбек Е.К.
У34 Высшая математика: Метод. реком. для практич. занятий и сам. работы студ. УФФ з/о /Е.К.Узбек, Ю.В.Сухова, Н.Н.Ивахненко. – Донецк: ДонГУЭТ, 2004. – 79 с.
Цель разработки – помочь студентам освоить курс высшей математики соответственно учебной программе. Данная работа может быть использована студентами других специальностей, а также студентами дневного отделения. Разработка содержит теоретический материал, примеры решения задач и индивидуальные задачи для контрольной работы.
ББК 22.1я73
© Коллектив авторов, 2004
© Донецкий государственный университет
экономики и торговли
им. М.Туган-Барановского, 2004
С о д е р ж а н и е
|
стр. |
Введение………………………………………………………………………………... |
4 |
Программа курса……………………………………………………………………… |
5 |
1. Элементы теории пределов……………………………………………………... |
7 |
1.1. Предел последовательности………………………………………………..... |
7 |
1.2. Предел функции…………………………………………………………….… |
8 |
1.3. Раскрытие неопределенностей ……………………………………………... |
10 |
1.4. Первый замечательный предел……………………………………………… |
13 |
1.5. Второй замечательный предел ……………………………………………… |
14 |
2. Производная функции…………………………………………………………… |
15 |
2.1. Понятие производной функции…………………………………………..... |
15 |
2.2. Производная сложной функции…………………………………………..... |
17 |
2.3. Дифференцирование неявной функции……………………………….… |
18 |
3. Применение производной к исследованию функции………………….… |
19 |
3.1. Экстремум функции………………………………………………………….. |
20 |
3.2. Точки перегиба………………………………………………………………… |
23 |
3.3. Асимптоты ……………………………………………………………………… |
24 |
3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика……… |
25 |
4. Неопределенный интеграл……………………………………………………… |
28 |
4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл………………… |
28 |
4.2. Непосредственное интегрирование ……………………………………….. |
30 |
4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)….. |
30 |
4.4. Интегрирование по частям ………………………………………………….. |
31 |
4.5. Интегрирование рациональных дробей………………………………….. |
33 |
4.6. Интегрирование тригонометрических функций ………………………. |
38 |
5. Определенный интеграл ………………………………………………………... |
41 |
5.1. Понятие определенного интеграла………………………………………… |
41 |
5.2. Формула Ньютона-Лейбница……………………………………………….. |
43 |
5.3. Методы интегрирования……………………………………………………... |
44 |
6. Несобственный интеграл ………………………………………………………... |
45 |
7. Дифференциальные уравнения……………………………………………….. |
46 |
7.1. Уравнения с разделяющимися переменными……………………………. |
47 |
7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ……… |
49 |
7.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка…………. |
50 |
7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка………………………. |
52 |
7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами………………………………………….. |
52 |
8. Числовые ряды ……………………………………………………………………. |
54 |
8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда…………………….. |
54 |
8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов…….. |
55 |
8.3. Знакочередующиеся ряды…………………………………………………… |
58 |
9. Степенные ряды…………………………………………………………………… |
59 |
Контрольная работа ………………………………………………………………… |
61 |
Литература ……………………………………………………………………………. |
78 |
В в е д е н и е
Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает развитие логического мышления; овладение основными методами исследования и решения математических задач; выработку умения самостоятельно расширять математические знания.
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, выполнение контрольной работы.
Данная методическая разработка предназначена для студентов заочного отделения учетно-финансового факультета. Она содержит программу курса высшей математики, общие рекомендации по работе над курсом, методические указания и контрольную работу. Контрольная работа содержит 6 заданий. Задания следует выбирать, ориентируясь на две последние цифры зачетной книжки. Если две последние цифры образуют число, превышающее 30, то из него вычитают число, кратное 30, и получают номер варианта. Например, последние цифры зачетной книжки 79, тогда вариант определяют так: 79 – 60 =19.
Правила оформления контрольной работы:
контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами или пастой любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний преподавателя;
в заголовке работы должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, номер зачетной книжки. Заголовок работы нужно поместить на обложке тетради;
решения задач следует располагать в порядке их номеров;
перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными в соответствии с вариантом;
решение задач необходимо излагать подробно и аккуратно, объясняя действия;
в конце выполненной работы следует перечислить использованную для решения литературу.
П р о г р а м м а к у р с а
1. |
Введение в математический анализ. |
|
|
1.1. |
Функция, область определения, способы задания. Сложная функция. |
|
1.2. |
Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Свойства бесконечно малых. Предел последовательности. Предел функции. |
|
1.3. |
Теоремы о пределах суммы, произведения и дроби. Признаки существования предела. |
|
1.4. |
Первый и второй замечательный пределы. Натуральные логарифмы. |
|
1.5. |
Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва. |
|
1.6. |
Сравнение бесконечно малых величин. |
|
|
|
2. |
Дифференциальное исчисление. |
|
|
2.1. |
Задачи, которые приводят к понятию производной. Определение производной. Геометрическое и механическое содержание производной. |
|
2.2. |
Таблица производных. |
|
2.3. |
Производная суммы, произведения, частного функций, сложной функции. |
|
2.4. |
Дифференцирование функций, которые заданы неявно. Логарифмическое дифференцирование функций. |
|
2.5. |
Производные высших порядков. |
|
2.6. |
Возрастание и убывание функции на интервале. Экстремум функции. Необходимый признак экстремума. Достаточные признаки экстремума функции. |
|
2.7. |
Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Необходимое и достаточное условие точек перегиба. Асимптоты графика функции. Полное исследование функции и построение графика. |
|
|
|
3. |
Интегральное исчисление. |
|
|
3.1. |
Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. |
|
3.2. |
Непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой и по частям. |
|
3.3. |
Интегрирование рациональных дробей. |
|
3.4. |
Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций. |
|
3.5. |
Определенный интеграл и его свойства. |
|
3.6. |
Формула Ньютона-Лейбница. Применение способов подстановки и интегрирование по частям к вычислению определенного интеграла. |
|
3.7. |
Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения). |
|
3.8. |
Понятие о несобственном интеграле. |
|
|
|
4. |
Дифференциальные уравнения. |
|
|
4.1. |
Дифференциальные уравнения (основные понятия). |
|
4.2. |
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. |
|
4.3. |
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные уравнения первого порядка. |
|
4.4. |
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. |
|
|
|
5. |
Ряды. |
|
|
5.1. |
Числовой ряд, сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости: признака сравнения рядов, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. |
|
5.2. |
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. |
|
5.3. |
Степенной ряд.
Область его сходимости. Ряд Тейлора.
Разложение в ряд Тейлора функций
|
|
5.4. |
Применение рядов к приближенным вычислениям. |
,
,
,
,
.
1. Элементы теории пределов |