8.3. Знакочередующиеся ряды
Ряд
называется знакопеременным,
если среди его членов имеются как
положительные, так и отрицательные
числа.
Признак сходимости
знакопеременного ряда. Если
ряд
,
составленный из абсолютных величин
членов знакопеременного ряда, сходится,
то и исходный ряд сходится.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда.
Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Ряд вида
,
где
– положительные числа, называется
знакочередующимся.
Признак Лейбница. |
Знакочередующийся
ряд сходится, если его члены монотонно
убывают по абсолютной величине и
модуль общего члена стремится к нулю
при
,
т.е.
|
.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Находим:
,
,
,
.
Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине:
.
.
Условия сходимости знакочередующегося ряда выполняются, значит данный ряд сходится.
9. Степенные ряды |
Ряд
,
членами которого являются функции от
называется функциональным.
Функциональный ряд
называется сходящимся
в точке
,
если при
он обращается в сходящийся числовой
ряд.
Функциональный ряд называется расходящимся в точке , если при он обращается в расходящийся числовой ряд.
Множество значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Функциональный ряд вида
или
,
где – числа, называемые коэффициентами, называется степенным рядом.
Ряд, который сходится при любом значении , называется всюду сходящимся.
Обобщенный признак Даламбера сходимости степенного ряда Для степенного ряда , где , составим предел модуля отношения последующего члена ряда к предыдущему
.
Для всех , при которых:
,
ряд сходится,
,
ряд расходится,
,
необходимы дополнительные исследования.
Пример.
Определить интервал сходимости степенного
ряда
.
Решение. Запишем общий член ряда и следующий:
;
.
Найдем предел отношения их абсолютных величин:
.
Найдем интервал
сходимости из условия
.
,
,
,
– интервал сходимости.
Для нахождения области сходимости проверим сходимость ряда на концах интервала сходимости.
:
.
Полученный знакоположительный ряд расходится (см. стр. 57), следовательно, точка не входит в область сходимости.
:
.
Для полученного знакочередующегося ряда выполняются оба условия теоремы Лейбница:
.
Ряд сходится. Точка входит в область сходимости.
Итак, область сходимости
данного ряда:
.
Контрольная работа |
Задание 1.
Найти пределы функций без применения правила Лопиталя
1. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
2. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
3. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
4. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
5. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
6. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
7. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
8. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
9. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
10. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
11. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
12. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
13. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
14. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
15. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
16. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
17. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
18. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
19. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
20. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
21. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
22. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
23. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
24. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
25. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
26. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
27. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
28. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
29. |
а) |
б)
|
в)
|
г)
|
|
|
|
|
30. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
Задание 2.
Найти производные
1. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
2. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
3. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
4. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
5. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
6. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
7. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
8. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
9. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
10. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
11. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
12. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
13. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
14. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
15. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
16. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
17. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
18. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
19. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
20. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
|
||
21. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
|
||
22. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
23. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
24. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
25. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
26. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
27. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
28. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
29. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
30. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
Задание 3.
Провести исследования функции методами дифференциального исчисления и построить ее график
1. |
|
2. |
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
|
|
|
|
|
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
|
|
|
|
|
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
|
|
|
|
|
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
Задание 4.
Найти интегралы
1. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
2. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
3. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
4. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
5. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
6. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
7. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
8. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
9. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
10. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
11. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
12. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
13. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
14. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
15. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
16. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
17. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
18. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
19. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
20. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
21. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
22. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
23. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
24. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
25. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
26. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
27. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
28. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
29. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
30. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
Задание 5.
Найти общее решение дифференциального уравнения
1. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
2. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
3. |
а)
|
б)
|
в)
|
4. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
5. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
6. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
7. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
8. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
9. |
а)
|
б)
|
в)
|
10. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
11. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
12. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
13. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
14. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
15. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
16. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
17. |
а)
|
б)
|
в)
|
18. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
19. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
20. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
21. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
22. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
23. |
а) |
б)
|
в)
|
|
|
|
|
24. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
25. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
26. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
27. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
28. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
29. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
|
|
|
30. |
а)
|
б)
|
в)
|
Задание 6.
Найти область сходимости степенного ряда
1. |
|
2. |
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
|
|
|
|
|
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
|
|
|
|
|
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
|
|
|
|
|
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
|
|
|
|
|
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
