1.1. Предел последовательности

Определение.

Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента.

Член называется общим членом последовательности. Последовательность с общим членом содержит бесконечное множество чисел и обозначается . Последовательность считается заданной, если дан способ вычисления любого ее члена по его известному номеру.

Пример. Написать первые 10 членов последовательности, если ее общий член .

Решение. Вычисляя значение дроби при значениях , равных 1, 2, 3,…, 10, получим: , , , , , , , , , .

В общем виде:

Определение.

Число называется пределом последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого, положительного числа найдется такое натуральное число ,

что все значения переменной , начиная с , отличаются от по абсолютной величине меньше чем на :

при всех , или

.

Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Если последовательность имеет предел, равный , то говорят, что эта последовательность сходится к . Например, поскольку , то говорят, что последовательность сходится к 1.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Например, последовательность ,… не имеет предела, значит она расходится.

Геометрическая интерпретация предела. Постоянное число называется пределом переменной , если для любой окрестности с центром в точке , даже сколь угодно малого радиуса , найдется такое значение , что точки, изображающие это значение и все последующие значения переменной , попадут в эту окрестность (рис.1). Обратим внимание на то, что вне любой окрестности точки лежит лишь конечное число значений переменной .

0

Рис. 1 Геометрическая интерпретация предела последовательности

1.2. Предел функции

Определение.

Число является пределом функции при , если для любого, даже сколь угодно малого, положительного числа существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Тот факт, что функция при имеет предел, равный , символически обозначают в виде

.

Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).

Для каждого наперед заданного значения , найдется окрестность точки радиуса , такая, что часть графика данной функции, соответствующая окрестности , содержится внутри полосы, ограниченной прямыми , .

0

Рис. 2 Геометрическая интерпретация предела функции