4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)

Сущность интегрирования методом замены переменной заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко берется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла заменяем переменную новой переменной подстановкой . Продифференцировав это равенство, получим: . Подставляя в подынтегральное выражение вместо и их значения, выраженные через и , имеем:

.

После того как интеграл с новой переменной будет найден, посредством подстановки он приводится к переменной .

Часто также применяют замену .

Пример. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример. Найти интеграл .

Решение.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение.

4.4. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

,

где , – непрерывно дифференцируемые функции от .

С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом через обозначают такую функцию, которая при дифференцировании упрощается, а через – ту часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. Так, например, для интегралов , , , где – многочлен, за следует принять , а за – соответственно выражения , , .

Для интегралов вида , , , , за принимают соответственно функции , , , , а за – выражение .

Пример. Найти интеграл .

Решение.

Пример. Найти интеграл .

Решение.

.

Мы добились понижения степени на единицу. Чтобы найти , применим еще раз интегрирование по частям:

.

Окончательно имеем:

.

4.5. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя ниже степени знаменателя ; в противном случае дробь называется неправильной.

Элементарными рациональными дробями называются правильные дроби вида:

1. ;

2. , где – целое число, большее единицы;

3. , где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;

4. .

Во всех четырех случаях предполагается, что – действительные числа.

Рассмотрим интегралы от элементарных рациональных дробей первых двух типов. Имеем:

1. ;

2. .

Например, .

Для интегрирования дробей третьего типа выделяют полный квадрат в знаменателе, а далее используют табличные интегралы

; .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Выделим полный квадрат

.

Тогда

Для интегрирования элементарных дробей четвертого типа в числителе выделяют производную знаменателя и сводят интеграл к сумме двух интегралов третьего типа и .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем дробь: выделим в числителе из производную знаменателя, равную , но чтобы величина числителя не изменялась:

.

Поэтому

.

Выделим полный квадрат:

.

Далее имеем:

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на элементарные дроби. Перед интегрированием рациональной дроби надо сделать следующие алгебраические преобразования:

1. если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде:

,

где – многочлен, а – правильная рациональная дробь;

2. разложить знаменатель дроби на линейные и квадратные множители:

,

где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;

3. правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби:

4. вычислить неопределенные коэффициенты для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной конкретные значения (корни знаменателя).

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена к интегралам от элементарных рациональных дробей.

Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, т.е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Так как каждый из двучленов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы элементарных дробей первого типа:

.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

.

Положим

Итак, разложение рациональной дроби на элементарные имеет вид:

.

Таким образом,

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, т.е. знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Множителю соответствует сумма трех элементарных дробей , а множителю – элементарная дробь . Итак,

.

Тогда

.

Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и – 3. Полагая , получаем . При имеем .

Положим , получаем . При имеем . Тогда

, , , .

Разложение данной дроби имеет вид:

.

Таким образом, получим

Случай 3. Среди корней знаменателя имеется квадратный трехчлен, не разложимый на линейные множители.

Пример. Найти интеграл .

Решение.

;

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной .

;

.

.