1.3.2. Фильтры Чебышева
Отличительной чертой фильтров Чебышева является наименьшая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной полосе частот. В действительности ошибка аппроксимации представляется в заданной полосе частот равновеликими пульсациями, т. е. она флуктуирует между максимумами и минимумами равной величины. В зависимости от того, где минимизируется ошибка аппроксимации – в полосе пропускания или в полосе непропускания, – различают фильтры Чебышева типа 1 и 2.
Фильтры Чебышева типа 1 имеют только полюсы и обеспечивают равновеликие пульсации амплитудной характеристики в полосе пропускания и монотонное изменение ослабления в полосе непропускания. Квадрат амплитудной характеристики фильтра Чебышева типа 1 n-го порядка описывается выражением
где
– полином Чебышева
-го
порядка, по определению равный
–
параметр, характеризующий
пульсации в полосе пропускания.
Свойство оптимальности фильтров Чебышева типа 1 порядка заключается в том, что не существует какого-либо другого фильтра -го порядка, содержащего только полюсы, который имел бы такие же или лучшие характеристики и в полосе пропускания, и в полосе непропускания.
Фильтры Чебышева типа 2 (иногда их называют обратными фильтрами Чебышева) обеспечивают монотонное изменение ослабления в полосе пропускания и равновеликие пульсации в полосе непропускания. Нули фильтров этого типа располагаются на мнимой оси в -плоскости, а полюсы – в левой полуплоскости. Квадрат амплитудной характеристики фильтров Чебышева типа 2 порядка можно представить следующим образом:
где
– наинизшая частота, на
которой в полосе непропускания достигается
заданный уровень ослабления.
1.3.3. Эллиптические фильтры
Эллиптические фильтры характеризуются тем, что их амплитудная характеристика имеет равновеликие пульсации и в полосе пропускания, и в полосе непропускания. Эллиптические фильтры являются оптимальными с точки зрения минимальной ширины переходной полосы.
Квадрат амплитудной характеристики эллиптического фильтра нижних частот записывается в виде
где
–
рациональная функция Чебышева;
– параметр, характеризующий
пульсации функции
1.3.4. Фильтры Бесселя
Фильтры Бесселя характеризуются максимально гладкой характеристикой групповой задержки в начале координат в s-плоскости. Переходная характеристика фильтров Бесселя имеет весьма малый выброс. Однако при дискретизации непрерывных фильтров Бесселя методами, рассмотренными далее, характерное для этих фильтров свойство максимальной гладкости характеристики групповой задержки не сохраняется.
Передаточная функция фильтров Бесселя записывается в виде
где
–
функция Бесселя
-го
порядка;
– константа нормирования;
Функции Бесселя удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:
с начальными условиями
и
.
Эти функции можно представить в виде
где
Фильтры Бесселя имеют только
полюсы, которые расположены на окружности
с центром на действительной положительной
полуоси
-плоскости.
1.4. Преобразования полосы частот для аналоговых фильтров
Существует много различных методов преобразования фильтров нижних частот с частотой среза, равной 1 рад/с, в другой фильтр нижних частот (имеющий другую частоту среза), а также в фильтр верхних частот, полосовой или режекторный. Перечислим наиболее простые преобразования.
Фильтр нижних частот фильтр нижних частот:
Фильтр нижних частот фильтр верхних частот:
Фильтр нижних частот полосовой фильтр:
.
Фильтр нижних частот режекторный фильтр:
.
Здесь
– нижняя частота среза,
– верхняя частота среза.