Задача 16

1. Рівняння дотичної до графіка функції в точці має вигляд:

де – похідна функції , обчислена в точці .

2. Рівняння нормалі до графіка функції в точці має вигляд:

де – похідна функції , обчислена в точці .

Задача 17

1. Таблиця похідних основних елементарних функцій:

1. , де

а) при

б) при

в) при

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. ,

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

2. Правила диференціювання функцій і , що мають похідну у точці х:

1. , .

2. .

3. .

4. .

5. , .

3. Похідна складеної функції

Якщо функція має похідну в точці x, а функція має похідну у точці и=и(х), то складена функція в точці х також має похідну, яка дорівнює: .

4. Похідна функції, що задана параметричними рівняннями

Якщо функції мають похідну в точці t, а функція має обернену функцію , то складена функція має похідну у точці , яка дорівнює: .

Задача 18

1. Диференціал функції , що має похідну в точці х, дорівнює:

,

де - диференціал незалежної змінної х.

2. Властивості диференціала для функцій і , що мають похідну у точці х:

1. , .

2. .

3. .

4. .

5. , .

3. Якщо складена функція має похідну, яка дорівнює:

,

то диференціал складеної функції в точці х дорівнює:

,

де - диференціал проміжного аргументу .

Задача 19

1. Якщо функція є диференційованою, то функція , що є похідною першого порядку, також може бути диференційованою функцією. Похідна від цієї функції називається другою похідною від функції і позначається

.

2. Для того, щоб обчислити значення другої похідної функції в наданій точці , треба підставити координату точки в другу похідну функції:

Задача 20

1. Схема дослідження і побудови графіка функції:

а) знайти область визначення функції;

б) з’ясувати чи є функція парною, непарною, або функцією загального вигляду;

в) визначити точки перетину графіка функції з вісями координат;

г) знайти точки розриву функції і з’ясувати їх характер;

д) визначити інтервали зростання, спадання, точки екстремуму;

є) знайти інтервали опуклості, угнутості, точки перегину;

ж) знайти асимптоти функції;

з) побудувати графік функції.

2. Область визначення функції , що задана в аналітичному вигляді:

де Х – це множина значень аргументу х, при яких існує аналітичний вираз f(x), що задає функцію.

3. Область визначення функції знаходиться з умови:

.

4. Функція є парною, якщо виконується умова:

.

Графік парної функції є симетричним відносно вісі OY.

5. Функція є непарною, якщо виконується умова:

.

Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.

6. Функція є функцією загального вигляду, якщо

.

7. Точки перетину графіка функції з віссю OY знаходяться з умови:

8. Точки перетину графіка функції з віссю OХ знаходяться з умови:

9. Алгоритм знаходження точок розриву функції описано у задачі 15.

10. Функція зростає на інтервалах, для яких виконується умова

.

11. Функція спадає на інтервалах, для яких виконується умова

.

12. Точка х=х₀ називається точкою максимуму функції , якщо в деякому околі цієї точки виконується нерівність . Максимумом функції є значення функції в точці х₀ :

=max .

13. Точка х=х₀ називається точкою мінімуму функції , якщо в деякому околі цієї точки виконується нерівність . Мінімумом функції є значення функції в точці х₀ :

=min .

14. Точки максимуму і точки мінімуму називаються точками екстремуму функції, а значення функції в цих точках, тобто max і min , називаються екстремальними значеннями функції, або екстремумами.

15. Необхідна умова екстремуму: якщо неперервна функція має в точці х₀ екстремум, то в цій точці або не існує.

16. Точки, в яких називаються стаціонарними. Стаціонарні точки і точки, в яких похідна не існує, називаються критичними.

17. Достатня умова мінімуму функції в точці х = х₀: якщо при переході через критичну точку, що належить області визначення функції, вздовж числової вісі зліва направо похідна функції змінює знак мінуса на плюс, то це точка мінімуму.

18. Достатня умова максимуму функції в точці х=х₀: при переході через критичну точку, що належить області визначення функції, вздовж числової вісі зліва направо похідна функції змінює знак з плюса на мінус, то це точка максимуму.

19. В таблиці 2 наведено достатню умову мінімуму, а в таблиці 3 - достатню умову максимуму функції в точці х = х₀ . В першому рядку таблиць наведено значення аргументу х, в другому – поведінку першої похідної, а в третьому – поведінку самої функції . В другому стовпчику наведено і поведінку функції та її першої похідної зліва від точки , в третьому стовпчику – в самій точці, а в четвертому стовпчику – справа від точки х = х₀ .

Таблиця 2

Значення аргументу	х < х0	х = х0	х > х0
Поведінка першої похідної функції		, або не існує
Поведінка функції	Функція спадає	х=х0 - точка мінімуму функції, =min	Функція зростає

Таблиця 3

Значення аргументу	х < х0	х = х0	х > х0
Поведінка першої похідної функції		, або не існує
Поведінка функції	Функція зростає	х = х0 - точка максимуму функції, = max	Функція спадає

20. Схема дослідження функції на екстремум:

а) знайти область визначення функції

б) знайти першу похідну функції ;

в) розв‘язати рівняння ;

г) визначити точки, в яких перша похідна функції не існує;

д) всі критичні точки, тобто точки в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, нанести на числову вісь у порядку зростання;

е) на інтервалах між критичними точками визначити знак першої похідної ;

є) на підставі достатньої умови екстремуму (табл. 1 і табл. 2) зробити висновки про наявність екстремумів;

ж) обчислити значення функції в точках екстремумів.

21. Лінія, що є графіком функції , називається опуклою на деякому інтервалі, якщо всі точки лінії лежать нижче за будь-яку її дотичну на цьому інтервалі, крім точки дотику. Для функції на цьому інтервалі виконується умова:

.

22. Лінія, що зображує функцію , називається угнутою на деякому інтервалі, якщо всі точки лінії лежать вище за будь-яку її дотичну на цьому інтервалі, крім точки дотику. Для функції на цьому інтервалі виконується умова: .

23. Точка, що відокремлює опуклу частину графіка функції від угнутої, називається точкою перегину.

24. Необхідна умова точки перегину: якщо х = х₀ - точка перегину графіка функції , то в цій точці або не існує.

Точки, в яких або не існує називаються критичними точками другого роду .

25. Достатня умова точки перегину: якщо друга похідна функції в точці х = х₀ дорівнює нулю або не існує, і при переході через цю точку вздовж числової вісі друга похідна функції змінює свій знак, то точка х₀ є точкою перегину графіка функції, якщо вона належить області визначення функції.

Варіанти зміни знаків другої похідної і поведінки функції при наявності точок перегину наведено у таблиці 4 і таблиці 5. В першому рядку таблиць наведено значення аргументу х, в другому – поведінку другої похідної, а в третьому – поведінку самої функції . В другому стовпчику наведено поведінку функції та її другої похідної зліва від точки х = х₀, в третьому – в самій цій точці, а в четвертому стовпчику – справа від точки х = х₀.

Таблиця 4

Значення аргументу	х < х0	х = х0	х > х0
Поведінка другої похідної функції		, або не існує
Поведінка Функції	Функція угнута	х = х0 - точка перегину графіка функції	Функція опукла

Таблиця 5

Значення аргументу	х < х0	х = х0	х > х0
Поведінка другої похідної функції		, або не існує
Поведінка Функції	Функція опукла	х = х0 - точка перегину графіка функції	Функція угнута

26. Схема дослідження функції на наявність точок перегину:

а) знайти область визначення функції

б) знайти другу похідну функції ;

в) розв‘язати рівняння ;

г) визначити точки, в яких друга похідна функції не існує;

д) всі критичні точки, в яких друга похідна функції дорівнює нулю або не існує, нанести на числову вісь у порядку зростання;

є) на інтервалах між точками визначити знак другої похідної ;

ж) на підставі достатньої умови точки перегину (табл. 4 і табл. 5) зробити висновки про наявність точок перегину;

з) обчислити значення функції в точках перегину.

27. Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоч би одна з односторонніх границь в точці дорівнює , тобто

або .

28. Пряма є похилою асимптотою графіка функції при , якщо існують кінцеві границі

.

29. Пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції при , якщо виконується умова

.

30. Таблиця поведінки функції – це таблиця до якої зведено всі результати дослідження функції. В першому рядку цієї таблиці наведено у порядку зростання значень аргументу х точки розриву, точки екстремуму і точки перегину графіка функції , а також інтервали, на які ці точки поділяють числову вісь. У другому рядку таблиці наведено знаки першої похідної функції на інтервалах між точками і значення в самих точках. В третьому рядку таблиці наведено знаки другої похідної функції на інтервалах між точками і значення в самих точках. В четвертому рядку таблиці поведінки функції наведено висновки про характер поведінки функції на інтервалах і в точках.

31. В таблиці 6 і таблиці 7 надано два варіанти фрагменту таблиці поведінки функції для випадку, коли точка х = х₁ є точкою розриву другого роду, а пряма х = х₁ є вертикальною асимптотою графіка функції .

В другому стовпчику наведено поведінку функції, її першої та другої похідної зліва від точки х = х₁, в третьому стовпчику – в самій цій точці, а в четвертому стовпчику – справа від цієї точки.

Таблиця 6

Значення аргументу	х < х1	х = х1	х > х1
Поведінка першої похідної функції		не існує
Поведінка другої похідної функції		не існує
Поведінка функції	Функція зростає угнута	не існує	Функція зростає опукла

Таблиця 7

Значення аргументу	х < х1	х = х1	х > х1
Поведінка першої похідної функції		не існує
Поведінка другої похідної функції		не існує
Поведінка функції	Функція спадає опукла	не існує	Функція спадає угнута

32. В таблиці 8 надано приклад фрагменту таблиці поведінки функції для точки х = х₂, що є точкою максимуму функції . В другому стовпчику наведено поведінку функції, її першої та другої похідної зліва від точки , в третьому стовпчику – в самій точці, а в четвертому стовпчику – справа від точки

х = х₂ .

Таблиця 8

Значення аргументу	х < х2	х = х2	х > х2
Поведінка першої похідної функції		= 0
Поведінка другої похідної функції
Поведінка функції	Функція зростає опукла	= max	Функція спадає опукла

33. В таблиці 9 надано приклад фрагменту таблиці поведінки функції для точки х = х₃, що є точкою мінімуму функції . В другому стовпчику наведено поведінку функції, іі першої та другої похідної зліва від точки х = х₃, в третьому стовпчику – в самій цій точці, а в четвертому стовпчику – справа від цієї точки.

Таблиця 9

Числова вісь	х < х3	х = х3	х > х3
Поведінка першої похідної функції		= 0
Поведінка другої похідної функції
Поведінка функції	Функція спадає угнута	= min	Функція зростає угнута

34. В таблиці 10 і таблиці 11 надано два варіанти фрагменту таблиці поведінки функції для точки х = х₄, що є точкою перегину графіка функції . В другому стовпчику таблиць наведено поведінку функції, іі першої та другої похідної зліва від точки х = х₄, в третьому стовпчику – в самій цій точці, а в четвертому стовпчику – справа від цієї точки.

Таблиця 10

Числова вісь	х < х4	х = х4	х > х4
Поведінка першої похідної функції
Поведінка другої похідної функції		, або не існує
Поведінка функції	Функція зростає угнута	– значення функції в точці перегину	Функція зростає опукла

Таблиця 11

Числова вісь	х < х4	х = х4	х > х4
Поведінка першої похідної функції
Поведінка другої похідної функції		, або не існує
Поведінка функції	Функція спадає опукла	– значення функції в точці перегину	Функція спадає угнута

35. Побудову графіка функції доцільно виконувати у наступному порядку:

а) на координатній площині побудувати графіки асимптот;

б) нанести на координатну площину точки перетину графіка функції з координатними вісями;

в) нанести на координатну площину екстремуми та значення функції в точках перегину;

г) зробити ескіз графіка функції відповідно до таблиці поведінки функції.