ВСТУП
Домашні індивідуальні завдання є однією з форм організації навчальної діяльності у вищій школі, яка має на меті формування вмінь. Ці вміння є цілями навчання певної дисципліни. Таке формування вмінь відбувається через засвоєння, поглиблення та узагальнення знань.
Викладачами кафедри вищої математики розроблено уніфіковане індивідуальне завдання, що призначене для самостійного виконання студентами всіх спеціальностей денної форми навчання. Для цього проведено аналіз навчальних планів всіх напрямів підготовки і виділено сталу компоненту дисципліни «Вища математика» з таких тем:
Лінійна та векторна алгебра;
Аналітична геометрія;
Теорія границь, неперервність функції однієї змінної;
Диференціювання функції однієї змінної;
Невизначений інтеграл;
Визначений інтеграл;
Функції багатьох змінних;
Диференційні рівняння;
Числові та функціональні ряди;
Кратні інтеграли;
Теорія ймовірностей;
Операційне числення;
Теорія функціх комплексної змінної;
В кожній темі визначені базові вміння, що є необхідними студенту для достатнього рівня засвоєння дисципліни. Цей рівень відповідає оцінці „задовільно” за національною шкалою, або оцінці „Е” за європейською шкалою. До індивідуального завдання включено задачі, що спрямовані на формування саме базових умінь.
Домашнє індивідуальне завдання видається студенту на весь семестр і виконується по мірі вивчення матеріалу. Виконане завдання перевіряється викладачем, що веде практичні заняття.
У разі, якщо індивідуальне завдання не є обов‘язковим для виконання, викладач може враховувати при формуванні підсумкової оцінки семестру результати його виконання.
При підготовці до складання модульних контрольних робіт студент має орієнтуватися на задачі індивідуального завдання, як на зразок завдань мінімального рівня складності.
В посібнику наведено домашні індивідуальні завдання за темами: лінійна алгебра; векторна алгебра; аналітична геометрія у просторі; аналітична геометрія на площині; теорія границь, неперервність функції; похідна функції та її застосування.
Посібник складається з трьох частин.
В першій частині посібника міститься загальне формулювання задач домашнього індивідуального завдання і 30 його варіантів. Крім того наведено варіант-шаблон №30+k, у якому до кожної задачі введено параметр k, що дозволяє генерувати нові варіанти завдання.
В другій частині посібника надано довідкові матеріали, необхідні для виконання домашнього індивідуального завдання. Для кожної задачі наведено ті поняття, формули і алгоритми, які необхідні для її розв‘язання .
У третій частині посібника наведено українсько-російсько-англійський термінологічний словник.
Загальне формулювання задач
І. Лінійна алгебра
Обчислити визначник четвертого порядку перетворенням таким чином, щоб три елементи деякого рядка або стовпчика дорівнювали нулю, а потім розвиненням за цим рядком або стовпчиком.
2.
Для наданих матриць
обчислити
а)
б)
якщо Е
–
одинична матриця,
в)
,
Розв‘язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
а) методом Крамера;
б) методом Гауса;
в) методом оберненої матриці.
4. Розв‘язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Жордана-Гауса. Вказати, скільки розв‘язків має система.
ІІ. Векторна алгебра
5.
Для
наданих у просторі точок
,
,
,
:
а)
знайти координати та модулі векторів
;
б)
знайти одиничний вектор, що є ортом
вектора
;
в)
знайти внутрішні кути трикутника, що
побудовано на векторах
і
;
г)
знайти площу трикутника, що побудовано
на векторах
і
;
д) знайти об‘єм піраміди, що побудовано на векторах , і ;
є)
визначити, чи є вектори
,
и
компланарними, а також попарно
колінеарними, перпендикулярними.
Ііі. Аналітична геометрія у просторі
6.
Для наданих
у просторі точок
:
а)
скласти рівняння площини
що проходить через точку
та є перпендикулярною до вектора
;
б)
скласти рівняння площини
,
що проходить через точки
;
в) визначити кут між площинами та .
7. Для наданих у просторі точок :
а)
скласти рівняння прямої
,
що проходить через точки
;
б)
скласти рівняння прямої
,
що проходить через точки
;
в) Обчислити кут між прямими і .
8. Для наданих у просторі точок :
а)
скласти параметричні рівняння прямої
,
що проходить через точку
та є перпендикулярною до площини з задачі 6;
б) визначити координати точки перетину прямої з площиною з задачі 6.
VI. Аналітична геометрія на площині
9.
Для
наданих
на площині точок
:
а)
скласти рівняння медіани трикутника
,
що проведена до сторони
;
б)
скласти
рівняння висоти трикутника
,
що проведена з вершини
,
та визначити її довжину.
10.
Для рівняння кривої другого порядку
,
де
–
координати точки
,
виконати:
а) привести рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду;
б) визначити тип, знайти координати вершин та фокусів, ексцентриситет кривої.
в) зобразити криву схематично на малюнку.
V. Теорія границь, неперервність функції
11. Обчислити границі за допомогою властивостей нескінчено малих та нескінчено великих величин.
12. Обчислити границі за допомогою теорем про границі.
13. Обчислити границі за допомогою I стандартної границі.
14. Обчислити границі за допомогою II стандартної границі.
15. Дослідити функцію на неперервність в точках і . Побудувати графік функції.
Vі. Похідна функції та її застосування
16.
Скласти
рівняння дотичної та нормалі до графіка
функції в
точці
.
17. Знайти першу похідну для наданих функцій.
18. Обчислити диференціал першого порядку для наданої функції.
19. Знайти другу похідну функції і обчислити її значення в наданій точці.
20.
Провести
повне дослідження функції
,
а саме:
а) знайти область визначення функції;
b) знайти точки перетину графіка функції з координатними вісями;
в) дослідити функцію на парність, непарність;
г) дослідити функцію на неперервність, визначити характер точок розриву;
д) дослідити функцію не наявність асимптот;
е) дослідити функцію на екстремуми;
є) дослідити функцію на опуклість, угнутість, наявність точок перегину;
ж) скласти таблицю поведінки функції;
з) побудувати графік функції.
Варіанти домашнІх індивідуальних завдань
ВАРІАНТ №1
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11.
а)
;
б)
.
12.
а)
б)
.
13.
а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
а)
б)
в)
18.
19.
20.
ВАРІАНТ №2
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11.
а)
;
б)
.
12.
a)
;
б)
.
13.
a)
;
б)
.
14.
a)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
,
.
20.
ВАРІАНТ №3
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11.
а)
;
б)
.
12.
а)
;
б)
.
13.
а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
.
20.
ВАРІАНТ №4
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11.
а)
;
б)
.
12.
а)
;
б)
.
13.
а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
а)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №5
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13.
а)
;
б)
.
14. а)
;
б)
.
15.
.
16.
17.
а)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
.
20.
ВАРІАНТ №6
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11.
а)
;
б)
.
12.
а)
;
б)
.
13.
а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
а)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №7
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №8
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №9
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14. а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №10
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14. а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №11
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14. а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №12
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. a)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №13
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
а)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №14
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11.
а)
;
б)
.
12.
а)
;
б)
.
13.
а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №15
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №16
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №17
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №18
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
; б)
.
14.
а)
; б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №19
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а
)
; б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №20
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ № 21
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ № 22
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №23
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №24
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №25
1.
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №26
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
; б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №27
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
; б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
; б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №28
1.
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а) ; б) .
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №29
1.
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а) ; б) .
13. а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ №30
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
; б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
ВАРІАНТ-шаблон №30+к
.
2.
.
3.
4.
5.
– 8.
9.,
10.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
; б)
.
14. а)
;
б)
.
15.
16.
17.
a)
;
б)
;
в)
18.
.
19.
;
.
20.
Примітка: значення параметра k повинно бути визначено викладачем.