Задача 3
Система 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими у символічному вигляді:
Головний визначник системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома
невідомими – це визначник , що складено з коефіцієнтів при невідомих. Він дорівнює:
Систему 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими можна розв‘язати методом Крамера, якщо головний визначник системи не дорівнює нулю:
Допоміжні визначники для розв‘язання системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими методом Крамера дорівнюють:
.
Якщо головний визначник системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими не дорівнює нулю, то значення невідомих можна знайти за формулами Крамера:
,
Метод Гауса розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в еквівалентних перетвореннях системи, метою яких є послідовне виключення невідомих з рівнянь системи. Еквівалентними називаються такі перетворення системи лінійних алгебраїчних рівнянь, при яких не змінюється розв‘язок системи.
Для зручності перетворення виконують над матрицею, що складена з коефіцієнтів при невідомих і правих частин рівнянь. Ця матриця носить назву розширена матриця системи. Розширена матриця системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими в символічному вигляді:
.
При розв’язанні системи методом Гауса з розширеною матрицею системи можна виконувати наступні дії:
а) помножати або ділити будь-який рядок на ненульове число;
б) додавати до будь-якого рядка інший рядок, помножений на ненульове число;
в) міняти рядки місцями.
Алгоритм метода Гауса складається з двох етапів: прямого хода і зворотного хода. Прямий хід полягає в перетворенні розширеної матриці системи к ступеневому вигляду, при якому на головній діагоналі тієї частини розширеної матриці, що відповідає головній матриці, стоять одиниці, а нижче – нулі:
.
Розширеній матриці, що перетворена, відповідає система:
Зворотний хід метода Гауса полягає в послідовному знаходженні невідомих, починаючи з останнього рівняння:
Якщо головний визначник системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими не дорівнює нулю, то значення невідомих можна знайти методом оберненої матриці.
У відповідність системі 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими ставляться матриці:
а)
головна матриця
;
б)
матриця-стовпчик невідомих
;
в)
матриця-стовпчик вільних членів рівнянь
.
Матрична форма запису системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими має вигляд:
,
або
.
Якщо визначник головної матриці системи
,
то для головної матриці системи А
існує
обернена матриця
,
що
задовольняє умові
,
де
і
А – матриці
розміру
,
Е
– одинична матриця того ж розміру.Обернена матриця системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими обчислюється за формулою
,
де
-
це матриця, що складена з алгебраїчних
доповнень до елементів матриці
,
транспонованої до матриці А.
Формула розв’язання системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими матричним методом має вигляд :
,
де
Х
і
В – матриці
розміру
,
–
матриця розміру
.