Характеристические уравнения I и II степени(порядка).
Для них необходимый критерий устойчивости, заключающийся в положительности всех коэффициентов уравнения, является и достаточным следовательно, условие устойчивости: а0>0; a1>0; a2>0.
Характеристические уравнения III степени(порядка).
Для него имеем: а0>0; a1>0;(из 1)
Следовательно,
в этом случае, кроме положительности
всех коэффициентов уравнения,
требуется еще соблюдение условия::
а1а3>а0а2;
ai>0,
Характеристические уравнения IV степени(порядка).
Для него 1 и 2 те же:
В
этом случае для устойчивости системы,
кроме положительности всех коэффициентов,
требуется выполнение условия:
Пример: Исследуем устойчивость следующей системы воспроизведения угла, состоящей из датчика, корректирующего устройства, двигателя и редуктора.
Функциональная схема:
Опишем элементы
САР:
Датчик и редуктор можно считать безинерционными с коэффициентами передачи k1, k4.
Усилитель - апериодическое звено первого порядка с коэффициентами передачи k2 и постоянной времени Ty.
В этом случае структурная схема САР:
Д
ля
такой САР передаточная функция разомкнутой
системы будет иметь вид:
Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:
Характеристические уравнение замкнутой системы будет иметь вид:
Для
устойчивости такой системы:
и выполнялось условие
,
то есть (Ту+Тдв)1>ТуТдв , Ту+Тдв>ТуТдв
Критерии
устойчивости Найквиста.
Критерий основан на рассмотрении АФХ разомкнутой системы. По её виду судят об устойчивости замкнутой системы. АФХ разомкнутой системы может быть получена как теоретически, так и экспериментально. Поэтому этот метод имеет преимущество перед алгебраическими критериями устойчивости
Рассмотрим произвольную функцию разомкнутой системы: ,где с(s)- характеристический полином разомкнутой системы.
Положим S =j ,тогда критерий Найквиста можно будет сформулировать так:
Замкнутая
система устойчива, если при изменении
w от 0 до
АФХ разомкнутой системы (годограф)
W(jw)
не охватывает точку с координатами (-1,
j0).
Вид годографов для устойчивых систем:
Н
екоторые
особенности применения критерия
Найквиста появляется при исследовании
системы находящейся в разомкнутом
состоянии на границе устойчивости. То
есть система имеет нулевые или чисто
линейные корни, случай когда система
имеет один нулевой корень: c(s)=0.
Годограф такой системы при
обращается в j,
при
он стремится к нулю.
В
этом случае для сохранения формулировки
критерия, справедливой для устойчивых
в разомкнутом состоянии систем, включают
нулевой корень в левую пролуплоскасть.
То есть делают систему условно устойчивой.
При использовании этого допущения
годограф для системы, находящийся в
различном состоянии на апериодической
границе устойчивости, дополняется
частью окружности бесконечного радиуса.
Она проводится от вещественной
положительной оси бесконечным радиусом
на угол /2(см
рис).
При
нескольких нулевых корнях (более высоком
порядке астатизме системы) угол дополнения
АФХ частью окружности составляет:
;
где -
порядок астатизма системы, то есть число
нулевых корней в характеристическом
уравнении c(S)=0.
Аналогичны
дополнения АФХ дугами окружностей
бесконечного ()
радиуса
приходиться производить при наличие
чисто мнимых корней в характеристическом
уравнении разомкнутой системы. В этом
случае имеем место разрыва непрерывности.
Дополнение производится полуокружностью
бесконечно большого радиуса (R) по часовой
стрелки, начиная с той ветви АФХ, которая
соответствует меньшим частотам.
Примеры систем, имеющих пару линейных корней и один нулевой в характеристическом уравнении разомкнутых систем:
Пример:
Определим устойчивость системы по Найквисту:
АЧХ:
И
з
рисунка видно, что система будет
устойчива, если точка пересечения
годографа с осью u
будет располагаться правее точки с
координатами (-1;j0).
Следовательно должно выполнятся условие
A()<1
(*). Частоту а
можно получить, положив мнимую часть
частотной производной функции равной
нулю.
;
;
;
подставив а в уравнение (*), получаем:
