Точность в типовых режимах (критерии точности).
Точность
работы САУ в установленном режиме
оценивается по величине установившейся
ошибки или возмущающих воздействий.
Чем меньше у, тем выше качество САУ.
Величина ошибки может быть найдена из дифферинциального уравнения САУ, составленного относительно ошибки.
Его можно получить из системы уравнений:
Разрешив относительно x(t), получим:
(1),
где
В установленном режиме все призводные равны нулю. Следовательно, приняв = 0, можно получить уравнение установившегося режима. Однако проще установившуюся ошибку определить по передаточной функции. Для этого преобразуем уравнение (1) по Лапласу и разрешим его относительно X(S):
(2)
передаточная
функция замкнутой системы по ошибке.
передаточная
функции замкнутой системы по ошибке от
возмущении.
Установившаяся
ошгибка находится при помощи теоремы
о конечном значении
.
Подставив сюда
формулу (2), получаем:
,
здесь xg-
установившаяся
ошибка от задающего возмущения;
xf-
установившаяся ошибка от возмущения.
Определение ошибок при типовых воздействиях:
Постоянное ступенчатое воздействие g(t)=go1(f), go=const.
Примем также что на САУ воздействует возмущение f(t) такого же вида:
f(t)=fo1(t), fo=const.
Такой режим воздействий широко применяется в системах стабилизации.
Установившаяся
ошибка при этих воздействиях называется
статической и определяется следующим
образом:
;
;
В
статических системах ошибка
,
где к-коэффициент усиления разомкнутой
системы.
В астатичных системах эта ошибка равна нулю, так как для них W(0).
В
статических системах по отношению к
задающему воздействию
.
Воздействие в виде линейной функции g(t)=1t, где 1=const.
Такой режим используется в следящих системах. Здесь преобразование Лапласа для воздействия g(t),получим:
,
.
.
Такая
ошибка называется скоростной. Последнее
выражение имеет смысл только при
астатизме первого порядка, тоесть когда
передаточная функция W(S)
имеет вид:
.
Для
системы с астатизмом первого порядка
скоростная ошибка будет составлять
.
Для систем с астатизмом более высокого порядка скоростная ошибка равна нулю.
Гармоническое воздействие.
.
Такое
воздействие широко применяется при
оценки динамической точности САУ.
Изображение ошибки от задающего
воздействия:
(1).
Очевидно, что в установившемся режиме ошибка также будет меняться по гармоническому закону с частотой :g . Амплитуда ошибки может быть определена из (1) путём подстановки S=jg.
Тогда
моржно записать
.
В
большинстве автоматических систем g
max>>x
max
и поэтому выражение в знаменателе:
.
Тогда моржно записать
(2)
А(g
)
-значение АЧХ разомкнутой системы на
частоте g.
Из (2) легко вытекает требование к АЧХ
разомкнутой системы, при котором
обеспечивается требуемая точность
управления
;
(3).
Она (3) ограничивает местоположение ЛАХ разомкнутой системы требованиями по точности, как показано на рисунке.
Медленно меняющееся воздействие произвольные формы.
Если внешнее воздействие f(t) или g(t) имеет достаточно плавную форму, то существенное значение имеет лишь конечное m число производных:
(4)
Соответствующие составляющие установившихся ошибок могут быть определены из передаточной функции замкнутой системы по ошибкам.
Разложим эти передаточные функции в ряд по возрастающим степеням S:
Эти ряды сходятся при малых значениях, тоесть при достаточно больших величинах времени t, что соответствует установившемуся режиму.
Учитывая предположения об ограниченном количестве производных (4) может получить значение установившихся ошибок от задающего воздействия g(t) и возмущающего воздействия f(t):
;
.
i – коэффициенты ошибок, вычисляются согласно разложению в ряд Тейлора следующим образом:
;
;
…;
;
;
;
;
…;
.
Коэффициент
0-
отличен от нуля только в статических
системах
,
для астатичных систем 0=0.
В
астатичных системах первого порядка
0=1=0,.
.
Коэффициенты
и
могут получиться не по выше приведённым
формулам, а путём деления многочлена
на многочлен.
и
Оценка запаса устойчивости и быстродействия по частотным показателям качества.
Здесь оценка производится по частотным характеристикам замкнутых или разомкнутых систем. Достоинством этих методов является возможность использования экспериментально снятых отдельных характеристик САУ. Метод оценки по АЧХ замкнутой системы. Её можно получить из передаточной функции, замкнутой системы, путём перехода к S=j.
H()-АЧХ разомкнутой системы:
Возможные очертания АЧХ замкнутой системы вид:
Для большинства систем управления характеристика H() имеет резонансный пик H max. Для систем находящихся на колебательной границе устойчивости, характеристика II на частоте max имеет разрыв.
Таким
образом, чтобы система была достаточно
удалена от границы устойчивости, величина
пика АЧХ H
max
должна быть ограничена. Чем больше H
max,
тем меньше запас устойчивости. При
исследовании САУ запас устойчивости
принято оценивать по показателю
колебательности М. Под ним понимают
следующее значение
.
Обычно
считается достаточным запас устойчивости
если
.
Мерой быстродейстьвия САУ может служить полоса пропускания , определяемая по виду АЧХ замкнутых систем.
Чем шире полоса прпопускания, тем выше быстродействие системы.
Показателю
колебаемости М>1 соответствует
резонансная частота мах,
которая приблизительно равна частоте
колебаний замкнутой системы в переходном
процессе. При этом время достижения
первого перерегулирования
.
При
условии, что переходный процесс
заканчивается за одно-два колебания
.
О запасе устойчивости также можно судить по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы, то есть по ЛАХ и ЛФХ. По ним определяется запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде. Запас устойчивости по фазе определяется на частоте ср :
.
Запас
устойчивости считается достаточным,
если
.
Запас устойчивости по амплитуде
определяется по ЛАХ при частоте, на
которой
.
Запас по амплитуде считается достаточным, если он больше 6-10дБ<1.
По логарифмическим характеристикам так же можно оценивать быстродействие системы.
По виду передаточной функции тоже можно оценивать запас устойчивости и быстродействие системы.
Запас
устойчивости определяется
перерегулированием:
Достаточным
считается запас устойчивости, если
.
Быстродействие системы определяется по времени переходного процесса. Переходный процесс считается закончившимся, если:
