Питання для самоконтролю

7.1. Які види зв’язків існують між суспільними явищами?

7.2. Що являють собою функціональні і кореляційні зв’язки?

7.3. Що таке кореляція?

7.4. Які задачі вирішуються в процесі кореляційного аналізу?

7.5. Які існують етапи кореляційного аналізу та задачі, що вирішуються на кожному з них?

7.6. Що являє собою кореляційне рівняння?

7.7. Що таке лінійний коефіцієнт кореляції?

7.8. Що таке квадратичний коефіцієнт кореляції?

7.9. Які існують основні методи визначення параметрів рівняння регресії?

7.10. Які непараметричні методи застосовуються при визначенні зв’язку між ознаками?

Розв’язок типових завдань

Завдання 7.1

Необхідно:

– використовуючи дані таблиці 7.7 про споживання м’яса та м’ясопродуктів у сім’ях робітників і службовців залежно від рівня середньодушового сукупного доходу, за допомогою кореляційного відношення оцінити щільність зв’язку між названими показниками. Відомо, що загальна дисперсія споживання м’яса і м’ясопродуктів становить 12,9. Перевірити істотність зв’язку між цими ознаками з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.7. Дані про споживання м’яса та м’ясопродуктів у сім’ях робітників і службовців залежно від рівня середньодушового сукупного доходу

Рівень середньодушового сукупного доходу	Кількість сімей, % до підсумку	Споживання м’яса і м’ясопродуктів на члена сім’ї за рік, кг
Низький	21	47
Середній	52	63
Високий	27	83
Разом	100	65

Розв’язок. Результативною ознакою y є споживання м’яса і м’ясопродуктів, а факторною x – рівень середньодушового сукупного доходу. Для оцінки тісноти зв’язку між цими ознаками використовують відношення , де – міжгрупова і загальна дисперсія.

Міжгрупову дисперсію обчислюють за формулою:

Розрахунок міжгрупової дисперсії подано в табл. 7.8.

Таблиця 7.8. Розрахунок міжгрупової дисперсії

Номер груп за факторною ознакою			-	( - )2 х
1	21	47	‑18	378
2	52	63	‑2	104
3	27	83	18	486
Разом	100	65	‑	968

Міжгрупова дисперсія становить , а загальна = 12,9, кореляційне відношення –

Це означає, що 75% варіації споживання м’яса і м’ясопродуктів залежить від рівня середньодушового сукупного доходу, 25 % припадає на долю інших ознак.

Істотність зв’язку перевіримо за допомогою F-критерію:

.

Число ступенів вільності можна визначити так:

,

,

де m – число груп за факторною ознакою; n – кількість елементів сукупності;

Фактичне значення F-критерію більше від критичного F0,95 (2; 97) = 3,11, тобто зв’язок між рівнем середньодушового сукупного доходу і споживанням м’яса та м’ясопродуктів з імовірністю 0,95 визнається істотним.

Завдання 7.2

Необхідно:

– за даними табл. 7.9 обчислити параметри лінійного рівняння регресії, надати їм економічну інтерпретацію;

– за допомогою коефіцієнта детермінації визначити щільність зв’язку між урожайністю кукурудзи та строком її збирання;

– перевірити істотність зв’язку між зазначеними ознаками з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.9. Залежність урожайності кукурудзи від строку збирання урожаю обстежено 10 господарств, які належать до однієї природнокліматичної зони

Номер господарства	Строк збирання урожаю, днів	Урожайність кукурудзи, ц/га
1	27	25
2	23	45
3	18	48
4	20	44
5	25	41
6	30	22
7	24	45
8	34	20
9	16	52
10	20	50

Розв’язок. Результативною ознакою y є урожайність кукурудзи, а факторною x – строк збирання урожаю.

Для оцінки параметрів лінійного рівняння регресії складають систему нормальних рівнянь, що має вигляд:

Розрахункові суми для складання систем нормальних рівнянь наведено в табл. 7.10.

Таблиця 7.10. Розрахунок сум для складання систем нормальних рівнянь

№ з/п	x	y	xy	х2	y2	Y	(Y - )2
А	1	2	3	4	5	6	7
1	27	25	675	729	625	32,60	43,56
2	23	45	1035	529	2025	40,64	2,07
3	18	48	864	324	2304	50,69	132,02
4	20	44	880	400	1936	46,67	55,80
5	25	41	1025	625	1681	36,62	6,66
6	30	22	660	900	484	26,57	159,52
7	24	45	1080	576	2025	38,63	0,33
8	34	20	680	1156	400	18,53	427,25
9	16	52	832	256	2704	54,71	240,56
10	20	50	1000	400	2500	46,67	55,80
Разом	237	392	8731	5895	16684	‑	1123,57

Після підстановки відповідних значень х та у одержимо систему рівнянь:

3 92 = 10a + 237b;

8731 = 237a + 5895b.

Після розв’язку цієї системи будь-яким способом знаходимо відповідні значення a та b, підставляємо їх до формули рівняння регресії, в результаті чого одержимо:

Y = 86,87 – 2,01x.

При збільшенні строку збирання урожаю кукурудзи на один день її урожайність знижується в середньому на 2,01 ц/га.

На підставі рівняння регресії обчислюють теоретичні значення Y для всіх елементів сукупності. Наприклад, для першого господарства Y₁ = 86,87 – 2,01 х 27 = 32,6 ц/га.

Теоретичні значення Y використовують для обчислення коефіцієнту детермінації , де – факторна, – загальна дисперсія.

Отже, ; . Тоді .

Таким чином 85,3 % варіації урожайності кукурудзи лінійно пов’язані зі строком збирання урожаю.

Перевірку істотності зв’язку здійснюють за допомогою F-критерію, або для ступенів вільнoсті:

k₁ = m – 1 = 2 – 1 = 1;

k₂ = n – m = 10 – 2 = 8,

де m – число параметрів рівняння регресії для лінійного рівняння (m = 2), а n – кількість елементів сукупності (n = 10).

Критичне значення для імовірності 0,95 згідно з додатком становить (1,8) = 0,399. Фактичне значення = 0,853 перевищує критичне, що свідчить про істотність зв’язку.

Завдання 7.3

Необхідно:

– за результатами соціологічного опитування робітників-верстатників (таблиця 7.11) обчислити коефіцієнт асоціації, перевірити істотність зв’язку з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.11. Дані соціологічного опитування робітників-верстатників

Чи задоволені ви темпами кваліфікаційного зростання	Чи маєте намір оволодіти суміжною професією		Разом
	так	ні
Так	46	12	58
Ні	14	28	42
Разом	60	40	100

Розв’язок. Коефіцієнт асоціації обчислюють за формулою:

,

де – частоти відповідних комбінацій ознак. За розрахунком коефіцієнт асоціації становить +0,46, що свідчить про наявність прямого зв’язку між темпами кваліфікаційного зростання і набуттям суміжних професій,

.

Перевірку істотності зв’язку здійснюють за допомогою критерію , статистична характеристика якого функціонально пов’язана з коефіцієнтом асоціації:

.

Критичне значення для рівня істотності a = 0,05 і числа ступенів вільності K = 1 становить 0,95 (1) = 3,84 (див. додаток).

Фактичне значення більше від критичного. Отже, зв’язок між темпами кваліфікаційного зростання і набуттям суміжних професій істотний.

Завдання 7.4

Необхідно:

– за даними табл. 7.12 обчислити коефіцієнт співзалежності; з імовірністю 0,95 перевірити істотність зв’язку між ознаками.

Дані для виконання:

Таблиця 7.12. Дані комбінаційного розподілу подружніх пар за віком, років

Вік дружини	Вік чоловіка			Разом
	15–29	30– 44	45 і більше
15–29	21	5	1	27
30–44	4	30	10	44
45 і більше	‑	5	24	29
Разом	25	40	35	100

Розв’язок. Оскільки число груп за обома ознаками однакове, використовуємо формулу коефіцієнта співзалежності Чупрова:

,

де – сума стандартизованих відхилень фактичних частот розподілу від теоретичних; m₁ та m₂ – кількість груп за першою і другою ознаками; n – кількість елементів сукупності.

Розрахунок подано в табл. 7.13. Теоретичні частоти обчислюють на основі підсумкових частот .

Наприклад, і т. д.

Таблиця 7.13. Розрахункова таблиця

Група i j	f i j	f ‘i j	F i j – f ‘i j	(f i j – f ‘i j)2	(f i j – f ‘i j)2 / f ‘i j
1	2	3	4	5	6
11	21	7	14	196	28,0
12	5	11	-6	36	3,3
13	1	9	-8	64	7,1
21	4	11	-7	49	4,4
22	30	18	12	144	13,1
23	10	15	-5	25	8,0
31	0	7	-7	49	7,0
32	5	12	-7	49	4,1
33	24	10	14	196	19,6
Разом	100	100	0	‑	96,3

Коефіцієнт співзалежності становить 0,49, тобто:

.

Перевірку істотності зв’язку здійснюють за допомогою критерію з числом ступенів вільності K = (m₁ – 1) (m₂ – 1) = 2 x 2 = 4.

Критичне значення (0,95) (4) = 9,49 значно менше від фактичного , отже, зв’язок між віком подружжя істотний.

Завдання 7.5

Необхідно:

– обчислити коефіцієнт рангової кореляції та перевірити істотність зв’язку між результатами лижників у кросах і лижних гонках з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Підсумкові результати в кросах (ранг Х) і лижній гонці (ранг Y) у 10 лижників розподілились так:

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	2	3	1	4	7	5	10	6	9	8

Розв’язок. Коефіцієнт рангової кореляції визначають за формулою Спірмена

,

де n – кількість елементів сукупності; d = – відхилення рангів.

Розрахунок суми квадратів відхилень рангів наведено в табл. 7.14.

Таблиця 7.14. Розрахунок суми квадратів відхилень рангів

X	Y	d =	d 2
1	2	1	1
2	3	1	1
3	1	2	4
4	4	0	0
5	7	2	4
6	5	1	1
7	10	3	9
8	6	2	4
9	9	0	0
10	8	2	4
‑	‑	‑	28

За розрахунком коефіцієнт рангової кореляції становить 0,83.

Критичне значення r для a = 0,05 наведено в додатку. Для n = 10 критичне значення r 0,95 = 0,563 менше від фактичного, що свідчить про істотний зв’язок між ознаками.