Питання для самоконтролю
6.1. Що розуміють під середніми величинами?
6.2. Для чого використовують середні величини?
6.3. Які існують вимоги до обчислення середніх?
6.4. Які види середніх величин Ви знаєте? Які особливості їх розрахунку?
6.5. Чим відрізняються прості і зважені середні показники?
6.6. Які особливості розрахунку середніх гармонійної і квадратичної?
6.7. Що означає поняття варіації ознак?
6.8. Що розуміють під варіацією і частотою варіаційного ряду?
6.9. Які види варіаційних рядів Ви знаєте?
6.10. Які ознаки показників варіації існують? Як вони розраховуються?
6.11. Що розуміють під модою? Які особливості її розрахунку?
6.12. Що розуміють під медіаною? Як вона розраховується?
Розв’язок типових завдань
Завдання 6.1
Необхідно:
за даними таблиці 6.10 визначити середній час очікування тролейбусів за даними результатів разового вибіркового опитування робітників і службовців одного з обласних центрів.
Дані для виконання:
Таблиця 6.10. Дані вибіркового опитування робітників і службовців щодо часу очікування тролейбусів
Середній час очікування, хв. |
До 4 |
5–9 |
10–14 |
15–19 |
20 і більше |
Разом |
Чисельність опитаних, % до підсумку |
10 |
30 |
25 |
20 |
15 |
100 |
Розв’язок. При визначенні середньої з інтервального ряду насамперед слід обчислити середину інтервалу кожної з груп як напівсуму нижньої і верхньої меж інтервалу. Якщо ряд розподілу має відкриті інтервали, то їх розмір приймається умовно рівним інтервалу тієї групи, що розташована поруч. Так, для першої групи це буде інтервал наступної, тобто другої групи, а для останньої – інтервал передостанньої групи. Слід зауважити, що за даними ряду розподілу середня обчислюється як арифметична зважена. Роль ваги при визначені середньої в наведеному прикладі відіграють частки опитаних:
=
хв.
Отже, середній час очікування тролейбусів становить 12 хв.
Завдання 6.2
Необхідно:
використовуючи дані таблиці 6.11, що характеризують чисельність студентів, прийнятих до навчальних закладів країни, і тих, які були прийняті на денне відділення, визначити середню частку студентів, прийнятих на денне відділення в базовому і поточному навчальних роках.
Дані для виконання:
Таблиця 6.11. Дані про кількість студентів, прийнятих на денне відділення в базовому і поточному роках
Навчальні заклади |
Базовий рік |
Поточний рік |
||
всього прийнято студентів, тис. чол. |
частка прийнятих на денне відділення, % |
прийнято студентів на денне відділення, тис. чол. |
частка прийнятих на денне відділення, % |
|
Вищі |
181,7 |
58,8 |
113,4 |
65,3 |
Системи підготовки молодших фахівців |
264,6 |
62,8 |
157,4 |
66,3 |
Розв’язок. При визначенні середньої частки слід насамперед усвідомити економічний зміст осереднюваного показника, тобто:
=
Знаменник цього співвідношення відіграє роль ваги при визначенні середньої, щодо базового навчального року. Цей показник відомий, чисельник же наведеного вище співвідношення легко обчислити, помноживши частку студентів, прийнятих на денне відділення, на загальну чисельність прийнятих студентів. Отже, в цьому випадку слід використати формулу середньої арифметичної зваженої:
=
,
або 61,2 %.
Середня частка студентів, прийнятих на денне відділення в базовому навчальному році, становить 61,2%.
Даних про загальну чисельність прийнятих студентів у поточному році немає, але цей показник можна визначити, поділивши чисельність студентів, зарахованих на денне відділення, на їх частку у загальній кількості прийнятих. Виходячи з цього, для обчислення середньої частки студентів денного відділення треба використати формулу середньої гармонійної зваженої, тобто
=
,
або 65,9 %.
Завдання 6.3
за даними таблиці 6.12 визначити модальний та медіанний вік чоловіків-одинаків за даними перепису населення України.
Дані для виконання:
Таблиця 6.12. Дані про групування чоловіків-одинаків за віком
Вік х, років |
до 20 |
20–29 |
30–39 |
40–49 |
50–59 |
60–69 |
70 і старше |
Разом |
Частка вікової групи w, % |
4,9 |
20,1 |
15,5 |
15,2 |
17,0 |
13,0 |
14,3 |
100,0 |
Розв’язок. Модальний вік розраховують за формулою
,
де XMo – нижня межа; hMo – ширина модального інтервалу;
fMo, fMo-1, fMo+1 – відповідна частота (частка) модального, попереднього і наступного інтервалів відносно модального. Модальний віковий інтервал становить від 20 до 29 років, оскільки йому відповідає найбільша частота (fMo = 20,1):
років,
тобто найбільш поширеним віком серед чоловіків-одинаків є вік близько 27 років.
Медіанний вік визначають за формулою:
,
де XMe, hMe – відповідно нижня межа і ширина медіанного інтервалу;
SMe-1 – сума накопичених частот (часток) в інтервалі, що передує медіанному;
fMe – частота медіанного інтервалу.
Порядковий номер центральної варіанти відповідає частці 50. У графі накопичених частот ця варіанта знаходиться в групі 40 – 49 років. Отже:
років.
Половина чоловіків-одинаків має вік до 45,6 років.
Завдання 6.4
визначити розмах варіації і коефіцієнт осциляції; середнє лінійне відхилення і лінійний коефіцієнт варіації.
Дані для виконання:
Вік робітників однієї бригади будівельників становить 28, 30, 31, 46, 47, 48, 50 років.
Розв’язок. Розмах варіації – це різниця між максимальним і мінімальним значенням ознаки, тобто
R = xmax – xmin = 50 – 28 = 22 років.
Відношення розмаху варіації до середньої величини ознаки називають коефіцієнтом осциляції, який обчислюють за формулою
.
Оскільки дані не згруповані, середню величину обчислюють за формулою середньої арифметичної простої
років,
тоді
Середнє лінійне відхилення – це середній модуль відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини
років.
Лінійний коефіцієнт варіації визначають за формулою:
,
що свідчить про незначну варіацію робітників бригади будівельників щодо їх віку.
Завдання 6.5
Необхідно:
за даними розподілу вантажних автомобілів одного підприємства за строком експлуатації (таблиця 6.13) обчислити: дисперсію строку експлуатації вантажних автомобілів; середнє квадратичне відхилення і квадратичний коефіцієнт варіації; дисперсію частки вантажних автомобілів зі строком експлуатації менше 8-ми років.
Дані для виконання:
Таблиця 6.13. Розрахункова таблиця для обчислення показників варіації
Строк перебування вантажних автомобілів в експлуатації, років |
Кількість автомо-білів |
Середина інтервалу, хі |
|
|
|
|
|
|
До 4 |
6 |
2 |
12 |
-7 |
49 |
294 |
4 |
24 |
4 – 6 |
10 |
5 |
50 |
-4 |
16 |
160 |
25 |
250 |
6 – 8 |
70 |
7 |
490 |
-2 |
4 |
280 |
49 |
3430 |
8 – 10 |
47 |
9 |
423 |
0 |
0 |
0 |
81 |
3807 |
10 –12 |
35 |
11 |
385 |
2 |
4 |
140 |
121 |
4235 |
12 –14 |
20 |
13 |
260 |
4 |
16 |
320 |
169 |
3380 |
14 і більше |
12 |
15 |
180 |
6 |
36 |
432 |
225 |
2700 |
Разом |
200 |
- |
1800 |
- |
- |
1626 |
- |
17826 |
Розв’язок. Дисперсія – це середній квадрат відхилень від середньої:
.
В рядах розподілу середню обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої
років;
.
Дисперсію можна визначити також за формулою різниці квадратів
,
де
–
середній квадрат значень варіант.
Необхідні для обчислення дані наведені в таблиці.
Отже,
Середнє квадратичне відхилення – це корінь квадратний з дисперсії
років.
Відношення середнього квадратичного відхилення до середньої називають квадратичним коефіцієнтом варіації. Його обчислюють за формулою:
,
що свідчить про
однорідність сукупності автомобілів
щодо строку
перебування
їх в експлуатації і типовість середньої
для цієї сукупності.
Частка автомобілів, у яких строк перебування в експлуатації менше 8-ми років становить
Дисперсію частки як альтернативної ознаки визначають за формулою:
p
(1 – p),
тобто
0,43
(1 – 0,43) = 0,245.