Передмова

Дисципліна "Сигнали та процеси в радіотехніці" (СПРТ) є базовою в системі підготовки сучасного інженера в області радіотехніки та радіоелектроніки. Метою дисципліни є вивчення фундаментальних закономірностей, пов'язаних з отриманням сигналів, їх передачею по каналах зв'язку, обробкою та перетворенням в радіотехнічних колах. Задачею курсу СПРТ є навчити студентів обирати математичний апарат для вирішення конкретних наукових та технічних задач в області радіотехніки, вказати тісний зв'язок математичного опису з фізичною стороною даного явища, навчити складати математичні моделі процесів, що вивчаються. Курсова робота орієнтована на закріплення навичок та формування вмінь математичного опису сигналів та визначення їх характеристик; визначення числової, енергетичної та кореляційної функцій, що характеризують їх параметри, а також аналіз перетворення випадкового процесу в нелінійних колах.

Успішне виконання курсової роботи базується також на використанні студентами знань з таких дисциплін як "Вища математика", "Основи теорії кіл", "Теорія ймовірностей" тощо.

Основна мета розрахунків – закріплення теоретичного матеріалу і розвиток навичок самостійного аналізу детермінованих сигналів, лінійних кіл та передачі сигналів через лінійні кола.

Дослідження частотних та часових характеристик лінійних кіл

При виборі варіанту (додаток 1) та конкретних числових значень параметрів сигналів, використовуються останні цифри номеру залікової книжки. В звіті необхідно привести варіант завдання, розрахункові формули, таблиці та необхідні графіки. Слід провести порівняльний аналіз з аналогічними характеристиками класичного сигналу прямокутної форми, а також зробити висновок про характер зміни сигналу на виході лінійного кола.

Виконати апроксимацію досліджуваного сигналу за допомогою самостійно вибраної системи спеціальних функцій (Лагранжа, Чебишева, Ерміта, Уолша, тощо) та оцінити значення погрішності апроксимації.

В розрахунках максимально використовувати ЕОМ, привести самостійно складені програми, отримані таблиці та графіки.

Для розрахунків доцільно використовувати засоби програмних пакетів MATHCAD та MATLAB.

Початкові данні для розрахунків:

; ; ; ; ; ; ; ,

де і – передостання та остання цифри номера залікової книжки (якщо 0, то попередня).

Завдання  1. Спектральний аналіз періодичних сигналів

Досліджувана періодична послідовність формується з сигналів, наведених у додатку 1. Уточнивши чисельні дані параметрів сигналу згідно варіанту завдання, необхідно:

• записати аналітичний вираз сигналу та навести його у вигляді ряду Фур’є;

• розрахувати та побудувати амплітудні та фазові характеристики (спектрограми);

• визначити ефективну ширину спектру;

• знайти середню потужність сигналу;

• оцінити похибку апроксимації.

Методичні вказівки:

Періодичний сигнал можна представити у вигляді суми гармонійних складових за системою тригонометричних або експоненціальних функцій:

; .

(1)

де – частота першої гармоніки у рад/с; – період повторення.

Амплітуди і фази n-x гармонійних складових дорівнюють:

; ; ; ; ; .

(2)

При дослідженні конкретних сигналів, розрахунків спектру амплітуд і фаз, та побудові їх графіків, зустрічаються різні ситуації, коли, наприклад, сигнали є парними або непарними функціями часу. В цьому випадку наведені вирази (2) спрощуються. Так для парних сигналів та , а для непарних – та . Оскільки структура амплітудного та фазового спектрів періодичного сигналу є дискретною і складається з окремих ліній, то часто на фазових спектрограмах додатково відображають значення фази огинаючої, лінією спектру амплітуд, взятих за модулем. Тому фазовий спектр приймає вигляд ступінчатої дискретної послідовності.

Середня потужність періодичного сигналу може бути знайдена як:

,

(3)

і визначається амплітудами гармонійних складових, а при оцінці ефективної ширини спектру сигналу, виходять із смуги частот, зайнятих спектром сигналу, в якій зосереджено не менше 90 % потужності. Підсумовуючи середні потужності окремих гармонік, можна знайти , яке визначає ефективну ширину спектру без постійної складової .

.

(4)

Розрахувавши значення і , складають таблиці і розглядають графіки амплітудної та фазової спектрограм, узгодивши їх по осі частот.

При оцінювані похибки апроксимації досліджуваного сигналу, розкладеного у ряд Фур’є, виходять з алгоритму, який дозволяє знайти середньоквадратичну похибку:

,

(5)

де – потужність досліджуваного сигналу; – середня потужність базисних функцій.

Завдання 2. Спектральний аналіз неперіодичних сигналів

Для неперіодичного сигналу з параметрами, наведеними у додатку 1, необхідно:

• знайти аналітичний вираз для модуля та аргументу спектральної густини ;

• побудувати графік отриманих виразів для модуля та аргументу спектральної густини;

• визначити ефективну ширину спектру та ефективну тривалість сигналу;

• знайти енергетичні характеристики неперіодичного сигналу;

• знайти і побудувати спектрограми сигналу, затриманого на .

Методичні вказівки:

Спектральна густина неперіодичного сигналу визначається за виразом:

; ,

(6)

де ; – модуль та аргумент спектральної густини; та – косинусна та синусна складові . Коефіцієнт і спектральна густина пов'язані співвідношенням: .

Крім того, в більшості випадків спектральна густина при чисельно дорівнює площі графіка , тобто .

Для парних сигналів спектральна густина є дійсною величиною і дорівнює:

.

(7)

Аргумент дійсної спектральної густини:

У разі непарного сигналу, спектральна густина є чисто уявною величиною:

.

(8)

Аргумент спектральної густини

.

При зсуві сигналу на , модуль спектральної густини не змінюється, а до аргументу додається . На підставі цього, наприклад, для спектральної густини затриманого сигналу отримуємо: .

При оцінці ефективної ширини спектру неперіодичного сигналу знаходять область частот, в якій знаходиться більше 90% енергії сигналу і яка визначається з рівняння Парсеваля-Стеклова:

.

(9)

Тоді ефективна ширина спектру може бути знайдена з рівняння:

.

(10)

З іншого боку, ефективна ширина спектру може бути знайдена як:

,

(11)

а ефективна тривалість сигналу може бути отримана із співвідношення

.

(12)

Отримавши алгоритми для розрахунку і , складають таблиці числових значень, за якими будуються графіки амплітудних та фазових спектрограм, та проводиться їх аналіз.

Завдання 3. Перетворення сигналів в лінійних колах

При дослідженні перетворення сигналів в лінійних колах, необхідно для заданого варіанту сигналу і лінійного кола (додаток 1) отримати аналітичний вираз для коефіцієнта передачі лінійного кола , імпульсної характеристики і перехідної характеристики кола :

• побудувати графіки отриманих характеристик;

• отримати вираз для сигналу на виході лінійного кола спектральним або часовим методами і побудувати графік сигналу на виході;

• дати оцінку отриманим результатам і зробити висновок про перетворення сигналу.

Методичні вказівки:

Аналітичний вираз для коефіцієнта передачі кола в загальному вигляді (13), можна отримати з рис. 1.

Рис. 1. Лінійне коло

,

(13)

де та можуть бути утворені паралельним або послідовним з'єднанням активних та реактивних опорів, – модуль передатної функції лінійного кола або його амплітудно-частотна характеристика (АЧХ); – фазо частотна характеристика (ФЧХ) кола.

Разом з передатною функцією , лінійне коло описують також часовими характеристиками – імпульсною та перехідною .

Імпульсна характеристика це відгук кола (сигнал на його виході) при дії на його вхід дельта-імпульсу. Перехідна характеристика це відгук кола при подачі на його вхід одиничного стрибка (функції включення). Для знаходження часових характеристик доцільно використовувати операторний метод і таблиці операторного числення.

Спектральний метод дослідження перетворення сигналу в лінійних колах є найпростішим, оскільки процес знаходження сигналу на виході кола зводиться до операції множення значень які є, наприклад, періодичним сигналом на відліки передатної функції у відповідних точках частотної області. Вхідний сигнал знаходиться у вигляді суми відгуків лінійного кола на кожну складову ряду, яким представляється вхідний сигнал. Сигнал на виході лінійного кола можна представити наступною сумою:

,

(14)

де та – значення АЧХ і ФЧХ лінійного кола на частоті ; – максимальний номер гармоніки, яка враховується при розрахунках і рівень якої, на основі амплітудного методу, складає, наприклад, 0,1 від максимального значення.

Виконуючи розрахунки, необхідно вибрати числове значення часового інтервалу , який враховує число відліків в часовій області для сигналу на виході . Основою для цього є теорема Котельникова, у відповідності з якою , де – максимальна частота спектру вихідного сигналу ; – період повторення .

Миттєві значення вихідного сигналу розраховуються в точках . Тоді сигнал на виході лінійного кола можна розрахувати за формулою:

.

(15)

Для неперіодичного сигналу спектр сигналу на виході визначається складовими, обмеженими смугою пропускання лінійного кола, тобто , а застосовуючи зворотне перетворення Фур’є, його можна знайти за формулою:

.

(16)

Використовуючи часові методи з використанням імпульсної характеристики , сигнал на виході лінійного кола можна визначити як , де – похідна вихідного сигналу.

Іноді для знаходження сигналу на виході використовують метод наближеного обчислення інтеграла. При цьому операція інтегрування замінюється сумою площ прямокутників, якими можна апроксимувати підінтегральний вираз. Так сигнал на виході дорівнює:

,

(17)

де та – модулі спектральної густини та коефіцієнта передачі, а і – фазові характеристики вхідного сигналу і фільтру; – смуга пропускання лінійного кола. Якщо ширина прямокутників дорівнює , а їх висота співпадає із значенням підінтегральної функції на частоті , то вибіркові значення вихідного сигналу будуть дорівнювати:

,

(18)

де .

Аналогічно можна розрахувати значення вихідного сигналу, використовуючи часовий метод. Використання того, або іншого методу для знаходження залежить, по-перше, від наявної інформації про характеристики вихідного кола і можливості розрахувати їх, а по-друге, від особливостей підінтегральної функції, наприклад, наявності стрибків. Проте, необхідні розрахунки доцільно виконувати з використанням ЕОМ.

Завдання 4. Кореляційний аналіз сигналів

Виконати кореляційний аналіз періодичних та неперіодичних сигналів. Побудувати графіки кореляційних функцій.

Методичні вказівки:

Кореляційний аналіз періодичних сигналів проводиться за наступним алгоритмом:

.

(19)

При отримуємо пікові значення, які чисельно дорівнюють середній потужності сигналу:

.

(20)

Для неперіодичного сигналу кореляційна функція знаходиться за виразом:

,

(21)

де – затримана на час копія досліджуваного сигналу. При кореляційна функція неперіодичного сигналу є максимальною та дорівнює енергії досліджуваного сигналу:

.

(22)