2.6.2. Анализ устойчивости по расположению корней характеристического уравнения

В разделе 2.1 отмечалось, что характер изменения функции

g(t) =

(и её производных) зависит исключительно характера корней характеристического уравнения системы (2.17) или (2.31). Наглядное представление о характере корней и его влияния на вид функции g = g(t) даёт их расположение на комплексной плоскости. Будут рассматриваться только некратные корни поскольку в дальнейшем будет необходимо обеспечивать условия, при которых система устойчива с некотором запасом. Итак, возможны следующие варианты решения характеристического уравнения.

1. Все корни s_i < 0, i = 1, 2, …, n, вещественные и отрицательные, следовательно, все экспоненты импульсной переходной характеристики g = g(t) – убывающие функции времени и их сумма в пределе равна нулю.

. Система асимптотически устойчивая.

2. Все корни s_i < 0 , i = 2, 3, …, n, вещественные и отрицательные, один корень – положительный s₁ > 0. Эта единственная экспонента с течением времени возрастает и потому g = g(t) – возрастающая функция времени

. Система неустойчивая.

3. Все корни s_i < 0 , i = 3, 4, …, n, вещественные и отрицательные, пара комплексно – сопряженных корней ,  > 0. При изучении импульсной переходной характеристики колебательного звена было показано, что комплексно – сопряженным корням с отрицательной вещественной частью (см. (2.50)) соответствует затухающий колебательный процесс (см. рис. 2.11). Следовательно (с учетом сказанного в пункте 1), функция g = g(t) в пределе равна нулю

. Система асимптотически устойчивая.

4 . Все корни s_i < 0 , i = 3, 4, …, n, вещественные и отрицательные, пара комплексно – сопряженных корней ,  > 0 имеет положительную вещественную часть. Этой паре корней соответствует незатухающий колебательный процесс и, следовательно, g = g(t) – возрастающая функция времени

. Система неустойчивая.

Из всего перечисленного вытекают следующие заключения:

• Система устойчива, если все корни её характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, т.е. находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости. Мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.

• Система неустойчива, если хотя бы один из корней характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть.

• Система находится на апериодической границе устойчивости, если все корни её характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, а один корень вещественный и равен нулю.

• Система находится на колебательной границе устойчивости, если все корни её характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, а пара комплексно – сопряженных корней имеет нулевую вещественную часть.

2.6.3. Критерий Михайлова

Итак, расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости несёт полную информацию об устойчивости системы. Проблема заключается в том, что сложно или невозможно решить аналитически алгебраическое уравнение n – го порядка. Поэтому разработаны методы, позволяющие по косвенным признакам судить об устойчивости, не решая характеристического уравнения. Эти методы называются критериями устойчивости. Ниже будут рассмотрены два частотных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

Пусть s₁, s₂,…, s_n – корни характеристического уравнения системы. Из них l корней неустойчивых а оставшиеся n-l корней – устойчивых. Воспользовавшись теоремой Виета, представим характеристическое уравнение в виде

(2.65)

Подставляя в уравнение (2.65) вместо текущей переменной s её значение s = jω, сформируем комплексный вектор

(2.66)

и найдем изменение фазы этого вектора ϕ_A при изменении частоты . Но вектор представляется в (2.66) как произведение векторов разностей , следовательно, изменение фазы ϕ_A равно сумме изменений фазы этих векторов разностей. Изображение векторов разностей на комплексной плоскости (см. рис 2.24) позволяет сделать следующее заключение:

• все устойчивые вектора разностей , лежащие в левой полуплоскости, при изменении частоты ω в диапазоне поворачиваются против часовой стрелки на угол, равный 180˚,

• все неустойчивые вектора разностей , лежащие в правой полуплоскости, при изменении частоты ω в диапазоне поворачиваются по часовой стрелке на угол, равный -180˚.

Таким образом,

.

Но, частотные характеристики симметричны относительно точки ω = 0. Поэтому изменение фазы вектора , называемое действительным, определяют при изменении частоты ω в диапазоне

. (2.67)

Если система в замкнутом состоянии устойчива (l = 0), то требуемое значение изменения фазы вектора равно

. (2.68)

Поскольку анализ устойчивости системы проводится в условиях, когда неизвестны значения корней характеристического уравнения, для определения нужно построить годограф вектора , годограф Михайлова, на комплексной плоскости и по нему найти значение .

Итак,

• для того чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой, необходимо, чтобы

= . (2.69)

Это означает, что годограф Михайлова в положительном направлении (против часовой стрелки) должен обойти n квадрантов, т. е. повернуться на угол, равный ,

• система не является устойчивой, если

< . (2.70)

т.е. нарушена последовательность обхода квадрантов,если при ω = 0 годограф Михайлова выходит из начала координат, то система находится на апериодической границе устойчивости,

• если на некоторой частоте годограф Михайлова проходит через начало координат, то система находится на колебательной границе устойчивости.