2.5.2. Система с единичной отрицательной обратной связью
Важнейшим частным случаем встречно - параллельного соединения элементов является соединение с единичной отрицательной обратной связью Wос(s) = 1. Такое соединение применяется при формировании замкнутой системы автоматического управления (рис 2.16). В этой системе:
W(s) – передаточная функция системы в разомкнутом состоянии (в случае разрыва обратной связи (t) = x(t) и передаточная функция
);Wз(s) – передаточная функция системы в замкнутом состоянии
;x(t) – основное или задающее входное воздействие;
y(t) – выходная величина;
(t) = x(t) - y(t) – ошибка системы.
Согласно выражению (2.60) в рассматриваемом случае формула для вычисления передаточной функции системы в замкнутом состоянии имеет вид
. (2.61)
Пусть
(см. (2.16)) тогда в соответствии с формулой
(2.60)
(2.62)
где A(s) = B(s) + C(s) – характеристический полином системы в замкнутом состоянии.
2.5.3. Системы с двумя входными воздействиями
Описание системы с двумя входными воздействиями
с использованием аппарата передаточных функций будет продемонстрировано на примере системы, структурная схема которой приведена на рис. 2.17.
В этой системе
x(t) – основное или задающее входное воздействие;
f(t) – суммарная помеха, приведенная к выходу дискриминатора;
y(t) – выходная величина;
(t) = x(t) - y(t) – ошибка системы;
W1(s) и W2(s) – заданные передаточные функции.
Пусть заданы система и оба входных воздействия. Чтобы описать свойства динамики системы требуется знать закон изменения выходной величины y = y(t) (или Y = Y(s)). Точность системы определяется ошибкой (t) (или её изображением E(s)). Обе эти величины зависят от обоих входных воздействий. Для линейных непрерывных систем, учитывая принцип суперпозиции, указанная зависимость имеет вид
,
; (2.63)
,
;
,
. (2.64)
Требуется определить передаточные функции (2.64), являющиеся коэффициентами приведенной зависимости (2.63). Для этого воспользуемся методом стандартных соединений.
a).
= ?
При отсутствии помехи f(t)
структурная схема рассматриваемой
системы совпадает со схемой рис. 2.15 при
условии, что
.
Таким образом, в соответствии с формулой
(2.61) получим
=
.
b). = ?
Отсутствует помеха f(t), выходная величина (t). Схему системы удобно представить в виде, изображенном на рис. 2.18. В соответствии со схемой передаточная функция системы в разомкнутом состоянии
W(s)
= 1, передаточная функция цепи обратной
связи
.
Таким образом,
.
c). = ?
В рассматриваемом случае структурная схема, изображенная на рис. 2.17, может быть преобразована и имеет вид стандартного встречно – параллельного соединения (см. рис. 2.19). При этом был применен приём, позволяющий переносить знак «-» через линейное звено.
Следовательно,
=
.
d). = ?
При x(t) = 0 – ошибка системы (t) = – y(t) и
=
=
.
2.6 Устойчивость линейных непрерывных систем
2.6.1. Определение устойчивости
Устойчивость – это важнейшее свойство системы автоматического управления. Если система не является устойчивой, то она неработоспособная.
Пусть система находится в состоянии равновесия и, начиная с некоторого момента времени, на нее начинают действовать ограниченные воздействия – возмущения. Если система под действием ограниченных возмущений имеет способность мало отклоняться от состояния равновесия, то она устойчива. В противном случае достаточно действия небольшого возмущения чтобы далеко отклонилась от состояния равновесия.
Возмущения могут быть непрерывными или импульсными, действующие на систему, в какие – то моменты времени. Доказывается что, если система устойчива при действии на неё начального мгновенного возмущения, то она будет устойчивой и при действии других видов ограниченных возмущений. Математически начальное мгновенное возмущение описывается дельта – функцией (t). Таким образом, судить об устойчивости системы можно по виду ее импульсной переходной характеристики. Как отмечалось в разделе 2.1 (см.(2.27), (2.28)), действие идеального импульса на линейную систему приводит к мгновенному изменению начальных условий (выводу её из состояния равновесия). Если в дальнейшем, будучи предоставлена самой себе, система сможет вернуться в состояние равновесия, то она устойчива.
Итак, если функция g(t) и её производные до (n-1) – го порядка ограничены, то система устойчива. Если, кроме того, пределы этих функций с течением времени стремятся к нулю, то система устойчива асимптотически.