§ 3.2. Кривые второго порядка на плоскости

Уравнение вида Ах²+2Вху+Су²+2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

В табл. 3 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.

Таблица 3

№ п/п	Определение кривой	Вид уравнения	Примечание
1	Э ллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.2)	- каноническое уравнение эллипса	2а – большая ось; 2b – малая ось 2с–межфокус-ное; расстояние с2=а2-b2; - эксцентриси-тет, 0<<1. Т. А1,А2,В1,В2 – вершины эллипса
№ п/п	Определение кривой	Вид уравнения	Примечание
2	Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.3)	- каноническое уравнение гиперболы	2а–действи-тельная ось; 2b–мнимая ось; 2с –меж-фокусное расстояние с2=а2+b2; - эксцентри-ситет,  >1. Точки А1,А2 – вершины гиперболы. Прямые - асимптоты
3.	Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.	у2=2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ x2=2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.4б)	F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.3а) F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.4б)

______________

3.2.1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса . Построить эллипс.

3.2.2. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого а) большая полуось равна 10, эксцентриситет равен 0,8; б) малая полуось равна , расстояние между фокусами равно 8.

3.2.3. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М(2; ) и В(0;2). Написать его уравнение. Построить кривую.

3.2.4. Построить гиперболу х²-4у²=16 и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет, угол между асимптотами.

3.2.5. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что: а) расстояние между фокусами равно 10, между вершинами равно 8; б) вещественная полуось равна , эксцентриситет равен .

3.2.6. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .

3.2.7. Написать уравнения прямых, проходящих через левую вершину гиперболы 1 а) параллельно прямой 3х-2у+6=0; б) перпендикулярно асимптоте, образующей острый угол с осью ОХ.

3.2.8. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А(2;4) и симметрична относительно оси ОХ. Написать ее уравнение.

3.2.9. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось а=12, эксцентриситет равен 0,5. Найти расстояние между фокусами.

3.2.10. Определить полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса 3х²+4у²-12=0.

3.2.11. Написать уравнение прямой, проходящей через нижний правый фокус эллипса под углом 45 к оси ОХ.

3.2.12. Определить фокусы, вершины, эксцентриситет и асимптоты гиперболы . Сделать эскиз.

3.2.13. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки А(2;1), В(-4; 7).

3.2.14. Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину гиперболы и отсекающую от оси ОY отрезок 5 единиц.

3.2.15. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А(1;-2) и симметрична относительно оси ОY. Написать уравнение параболы, найти координаты фокуса и уравнение директрисы.