§2.2. Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается скалярное произведение как или .

Итак, по определению, = .

Свойства скалярного произведения

1. = .

2. .

3. .

4. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то .

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть .

Скалярное произведение ортов:

.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе как ,то .

Применение скалярного произведения

1. Длина вектора равна .

2. Угол между векторами определяется как .

3. Проекция вектора :  .

4. Условие ортогональности двух векторов =0, .

5. Работа силы по перемещению материальной точки из А в В равна .

______________

2.2.1. Найти скалярное произведение векторов и .

2.2.2. Найти угол между векторами и .

2.2.3. Найти алгебраическую проекцию вектора на вектор .

2.2.4. Даны векторы . Вектор . Найти: ; ; ; ; .

2.2.5. Даны векторы: . При каких значениях n угол между векторами тупой, прямой, острый?

Ответ: n< ; n= ; n> .

2.2.6. Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7).

2.2.7. На материальную точку действуют силы ₁= , ₂= , ₃= . Найти работы равнодействующей этих сил и силы ₂ при перемещении точки из А(2;-1;0) в В(4;1;-1).

2.2.8. Определить длину вектора , если .

2.2.9. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где .

2.2.10. Векторы взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы, равные π/3. Зная, что , найти .

_____________

2.2.11. Даны векторы и . Найти , , .

2.2.12. Даны векторы = , = , = . Найти модуль скалярного произведения диагоналей четырехугольника АВСД.

2.2.13. Даны векторы Вектор . Найти: , .

2.2.14. Даны силы ₁= , ₂= . Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку А(2;-1;-1).

2.2.15. Найти угол между векторами и , где и - единичные векторы с углом между ними 120.

§2.3. Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов называется такой вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах , вектор перпендикулярен векторам и направлен таким образом, что при взгляде в конец вектора кратчайший поворот от видится против часовой стрелки. В этом случае говорят, что векторы образуют правую тройку. В противном случае тройка векторов левая.

Обозначается векторное произведение как или .

Модуль вектора .

Свойства векторного произведения

1. = - .

2. .

3. .

Векторное произведение ортов

.

Д ля перемножения ортов между собой можно воспользоваться следующей схемой (рис.1). Векторное произведение двух последовательно стоящих ортов равно           следующему за ними орту, при этом если

движение осуществляется слева направо,

то знак векторного произведения положи-

тельный, в противном случае – отрицательный,

т.е. , и тд.

Если заданы два вектора своими координатами в ортонормированном базисе как , то .

Применение векторного произведения

1. Площадь треугольника, построенного на векторах , равна .

2. Условие коллинеарности двух векторов = .

3. Момент силы , приложенный в точке А, равен .

________________

2.3.1. Построить векторы , если 1) ;

2) и .

2.3.2. Раскрыть скобки и упростить выражения:

1) ;

2) .

2.3.3. Даны векторы = , = . Найти .

2.3.4. Даны векторы Найти .

2.3.5. Найти площадь треугольника с вершинами А(1;2;0); В(3;0;-3); С(5;2;6).

2.3.6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы, угол между которыми равен π/3.

2.3.7. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы - единичные векторы, образующие угол 45.

2.3.8. Сила = приложена в точке М(2;-1;1). Найти ее момент относительно начала координат.

2.3.9. Построить векторы , если 1) ; 2) .

2.3.10. Раскрыть скобки и упростить выражения:

1) ;

2) .

2.3.11. Даны векторы . Найти векторное произведение .

2.3.12. Дан треугольник с вершинами А(2;-1;2); В(1;2;-1); С(3;2;1). Найти его площадь.

2.3.13. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы с углом между ними 30.