- •Высшая математика
- •Содержание
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§1.1. Матрицы и определители
- •§1.2. Системы m линейных алгебраических уравнений с m неизвестными
- •1.3. Операции над матрицами
- •1.4. Обратная матрица. Матричные уравнения и системы линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •1.5. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Глава 2. Векторная алгебра
- •§2.1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§2.2. Скалярное произведение
- •Свойства скалярного произведения
- •§2.3. Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •§2.4. Смешанное произведение трех векторов
- •Глава III. Аналитическая геометрия
- •§ 3.1. Прямая линия на плоскости
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •§ 3.2. Кривые второго порядка на плоскости
- •§ 3.3. Общее уравнение кривых второго порядка Преобразование уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •§ 3.4. Плоскость в пространстве
- •§ 3.5. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Глава IV. Математический анализ
- •§4.1. Основные элементарные функции, некоторые свойства и графики
- •§4.2. Предел функции. Замечательные пределы. Непрерывность функции
- •Замечательные пределы
- •Непрерывность функции
- •Разрывы функции
- •§4.3. Дифференцирование функций. Основные формулы дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •§4.4. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
- •§4.5. Производные высших порядков. Правила Лопиталя
- •Правила Лопиталя
- •§4.6. Монотонность функций. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •§4.7. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты
- •§4.8. Параметрически заданные функции. Векторная функция скалярного аргумента. Кривизна плоской кривой
- •Список рекомендуемой литературы
§4.7. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты
Кривая называется выпуклой в точке х=х0, если в некоторой окрестности этой точки кивая расположена под касательной, проведенной в этой точке (рис.6а), если же кривая лежит над касательной, то функция называется вогнутой (рис.6б).
В качестве достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функций можно принять следующие: если y">0, то кривая вогнутая, если y"<0, то кривая выпуклая.
Точкой перегиба называется точка, разделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости. Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю второй производной от функции, достаточным – изменение знака второй производной при переходе через точку, подозрительную на точку перегиба.
Пусть имеется кривая, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой по мере удаления точки кривой в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой графика кривой.
Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная.
Пусть y=f(x), а – точка разрыва функции или граничная точка области определения.
Если , то прямая х=а есть вертикальная асимптота.
Если , то прямая х=b – горизонтальная асимптота.
Наклонная асимптота имеет вид у=kx+b, где ; .
Замечание. Пределы при х∞, х-∞ находятся отдельно.
Алгоритм полного исследования функции y=f(x)
Найти область определения функции; точки разрыва.
Найти асимптоты графика функции.
Определить четность, нечетность, периодичность функции.
Установить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.
Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.
Найти точки пересечения графика с осями координат.
При необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках.
___________________
4.7.1. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:
а) у=х5-5х-6; б) у=(х-5)5/3+2;
в) у=хех; г) у=х4-8х3+24х2.
4.7.2. Найти асимптоты графика функций:
а) ; б) ;
в) ; г) y=-xarctgx.
4.7.3. Исследовать функции и построить их графики:
а) ; б) ;
в) ; г) .
4.7.4. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:
а) ; б) ;
в) y=ln|x|; г) .
4.7.8. Найти асимптоты графиков функций:
а) ; б) y=x-arctgx;
в) .
4.7.9. Исследовать функции и построить графики:
а) ; б) .
§4.8. Параметрически заданные функции. Векторная функция скалярного аргумента. Кривизна плоской кривой
Пусть даны две функции переменной величины , рассматриваемые для одних и тех же значений t. Эти уравнения на плоскости задают некоторую кривую. Так как переменная t называется параметром, то и приведенная система называется параметрическим уравнением кривой.
Если , то , а .
Пусть теперь некоторая кривая задана в пространстве R3 своими параметрическими уравнениями: . Тогда каждому значению t можно поставить в соответствие вектор , который называется векторной функцией скалярного аргумента t. Линия с, описываемая концом радиуса – вектора , называется годографом.
Если рассматривать как траекторию движения материальной точки в пространстве, то законы изменения скорости и ускорения движения этой точки имеют вид:
Пусть задана плоская кривая уравнением y=f(x). Величина определяет ее кривизну.
Радиус кривизны есть . Для параметрически заданной кривой .
________________
4.8.1. Найти , если x=arccost, y=arcsint.
4.8.2. Исключить параметр t из уравнений x=acost, y=bsint. Построить кривую.
4.8.3. Траектория движения материальной точки задана уравнением . Найти закон изменения скорости движения. Построить траекторию и векторы скорости при t=0; t=1.
4.8.4. Определить кривизну кривой при t=1.