- •Высшая математика
- •Содержание
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§1.1. Матрицы и определители
- •§1.2. Системы m линейных алгебраических уравнений с m неизвестными
- •1.3. Операции над матрицами
- •1.4. Обратная матрица. Матричные уравнения и системы линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •1.5. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Глава 2. Векторная алгебра
- •§2.1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§2.2. Скалярное произведение
- •Свойства скалярного произведения
- •§2.3. Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •§2.4. Смешанное произведение трех векторов
- •Глава III. Аналитическая геометрия
- •§ 3.1. Прямая линия на плоскости
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •§ 3.2. Кривые второго порядка на плоскости
- •§ 3.3. Общее уравнение кривых второго порядка Преобразование уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •§ 3.4. Плоскость в пространстве
- •§ 3.5. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Глава IV. Математический анализ
- •§4.1. Основные элементарные функции, некоторые свойства и графики
- •§4.2. Предел функции. Замечательные пределы. Непрерывность функции
- •Замечательные пределы
- •Непрерывность функции
- •Разрывы функции
- •§4.3. Дифференцирование функций. Основные формулы дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •§4.4. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
- •§4.5. Производные высших порядков. Правила Лопиталя
- •Правила Лопиталя
- •§4.6. Монотонность функций. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •§4.7. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты
- •§4.8. Параметрически заданные функции. Векторная функция скалярного аргумента. Кривизна плоской кривой
- •Список рекомендуемой литературы
1.4. Обратная матрица. Матричные уравнения и системы линейных уравнений
Обратной матрицей к квадратной матрице А называется такая матрица (обозначается А-1), что А-1А=А А-1=Е.
Замечание. Если матрица А-1 существует, то она единственна.
Минором Мij к элементу аij квадратной матрицы А называется определитель, вычисленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением Аij к элементу аij квадратной матрицы А=(aij) называется произведение Аij=(-1)i+jMij.
Присоединенной матрицей к квадратной матрице А=(aij) называется матрица , составленная из алгебраических дополнений Аij к элементам aij матрицы А.
Теорема. Если квадратная матрица А – невырожденная (т.е. detA0), то
. (*)
Метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице А состоит в применении формулы (*).
Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х записываются следующим образом:
АХ=В, ХА=В, АХС=В.
В этих уравнениях А,В,С,Х – матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знака равенства стоят матрицы одинаковых размеров.
Если в этих уравнениях матрицы А и С невырожденные, то их решения записываются следующим образом:
а) для уравнения АХ=ВХ=А-1В;
б) для уравнения ХА=ВХ=ВА-1;
в) для уравнения АХС=ВХ=А-1ВС-1.
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
Пусть система из n линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме:
АХ=В,
где А=(aij) – матрица коэффициентов системы размера nn,
- столбец неизвестных,
- столбец свободных членов.
Если определитель матрицы А не равен нулю, то система совместна и определена, и ее решение задается формулой:
Х=А-1В.
____________________
Найти матрицу, обратную к данной: а) ; б) ;
в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
Решить матричные уравнения: а) ;
б) ; в) ; г) ;
д) .
Решить системы уравнений, используя обратную матрицу: а) ; б) ; в) .
Решить матричные уравнения:
а) ; б) .
1.4.5. Решить систему уравнений:
.
____________________
1.5. Собственные числа и собственные векторы матрицы
Ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , если
Ах=х.
Вместо слов «собственное число» говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.
Собственными числами матрицы А являются корни уравнения |A-E|=0, называемого характеристическим уравнением матрицы А.
Собственные векторы находим для каждого собственного значения i, как ненулевое решение однородной системы линейных уравнений (А-iЕ)Х=0.
_____________________
1.5.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
а) ; б) ; в) .