Теми 4-6. Прикладні аспекти використання математичних методів і моделей підтримки прийняття рішень у ринковій економіці

Тема 4. Формування оптимального портфеля та календарного плану реального інвестування

Тема 5. Оптимізація кредитного портфеля за умов ризику щодо платоспроможності позичальників

Тема 6. Оптимізація календарного плану реалізації запасів сільськогосподарської продукції за умов цінового ризику

Опрацюємо можливості практичного використання математич­них методів підтримки прийняття економічних рішень на прикладах задач оптимізації виробничої програми за умов недетермінованих цін на продукцію та виробничі ресурси, оптимального управління фінан­совим портфелем за умов ризику або невизначеності щодо майбут­ньої прибутковості фінансових інструментів, оптимізації валютного резерву за детермінованих умов, умов ризику або умов невизначе­ності щодо показників майбутньої відносної цінності різних валют, задачі оптимізації кредитного портфеля за умов ризику щодо платос­проможності позичальників та задачі оптимізації календарного пла­ну реалізації запасів сільськогосподарської продукції за умов ціново­го ризику.

Тема 4. Формування оптимального портфеля та календарного плану реального інвестування

Важливим чинником ефективної інвестиційної діяльності є на­лежне формування портфелю та календарного плану виконання проектів реального інвестування. Такий план у кожний період часу повинен бути збалансованим щодо необхідних та наявних інвести­ційних ресурсів. Це дозволить здійснювати безперервну реаліза­цію кожного з обраних до портфелю інвестиційних проектів. Опти­мізаційна спрямованість забезпечуватиме визначення такого з допустимих планів, який характеризується найкращими економіч­ними показниками, очікуваними від реалізації обраного комплексу інвестиційних проектів в цілому. До того ж, методика планування обов'язково повинна враховувати ризик щодо очікуваних показ­ників реалізації кожного з інвестиційних проектів та особливості індивідуального ставлення інвесторів по відношенню до цього ри­зику.

Показники окремого інвестиційного проекту у детермінованому випадку.

Некеровані параметри:

Т – тривалість виконання (життєвий цикл) інвестиційного проекту,

τ- номер окремого часового проміжку з ЖЦ проекту,

І_τ- інвестиційні ресурси необхідні для виконання проекту в часовому проміжку τ його життєвого циклу,

V_τ- вартісна оцінка поточних (не інвестиційних) витрат пов’язаних з функціонуванням проекту,

N- чистий зведений до початку ЖЦ дохід за проектом.

,

Керовані змінні:

х_t – логічна змінна, яка відбиває факт вибору проекту та початок його реалізації у часовому проміжку t планового періоду.

То – тривалість горизонту планування, То≥T

t – номер окремого проміжку часу з планового горизонту.

Припустимо, що потенційний інвестиційний проект має ЖЦ 5 років і характеризується такими показниками (таблиця 9):

Таблиця 9

Показники	Рік ЖЦ
	1	2	3	4	5
Інвестиційні витрати Поточні витрати Поточні результати	50 20 -	40 80 20	30 100 400	- 150 600	- 200 800

Якщо цей проект розпочати відразу то No – чистий зведений до початку планового періоду дохід за проектом співпадатиме з N.

Якщо проект розпочати з 3–го року то зведений до початку планового періоду чистий дохід буде таким:

Формування інвестиційного портфеля та календарного плану у детермінованому випадку.

Нехай є n потенційних інвестиційних проектів кожен з яких характеризується такими показниками : j – номер окремого проекту (j= .

T_j, I_jτ, V _jτ, R _jτ – для кількох проектів.

N_j – чистий, зведений до початку життєвого циклу дохід:

Значення індексу t для змінних x_jt перебуває в межах від 1 до T_j0-Tj+1, де T₀ – тривалість планового горизонту. Інвестиційний портфель і календарний план потрібно сформувати з урахуванням лімітів інвестиційних ресурсів.

K_t – ліміт інвестицій на часовий проміжок t, планового горизонту, t= , То>max Tj, j= , причому загальна величини чистого доходу за усіма обраними проектами має бути якнайбільшою.

Економічно математична модель задачі інформування інвестиційного портфелю та календарного плану його виконання у детермінованому випадку має такий вигляд:

Приклад: Розглянемо 5 потенційних інвестиційних проекти, інформацію про які наведено в таблиці 10.

Таблиця 10

№ проекту	Тривалість років	Чистий дохід, зведений до початку виконання проекту, тис.грн.	Щорічні інвестиційні витрати протягом життєвого циклу проекту, тис.грн.
			1	2	3	4	5	6	7
1 2 3 4 5	5 4 6 5 7	486,613 547,311 284,192 315,640 459,811	50 100 40 60 70	40 150 70 120 80	30 50 100 - 50	- - - - -	- - - - -	- - - - -	- - - - -

Горизонт планування - 10 років.

Щорічний ліміт інвестицій у перші два роки по 150 млн. грн., у кожні наступні по 180 млн.грн.

Економіко-математична модель за наведеними даними має вигляд:

50x₁₁+100x₂₁+40x₃₁+60X₄₁+70X₅₁ ≤ 150,

50x₁₂+40x₁₁+100x₂₂+150x₂₁+40x₃₂+70x₃₁+60x₄₂+120x₄₁+70x₅₂+80x₅₁≤150;

50x_1,t+40x_1,t-1+30x_1,t-2+100x_2,t+150x_2,t-1+50x_2,t-2+40x_3,t+70x_3,t-1+ +100x_3,t-2+60x_4,t+120x_4,t-1+70x_5,t+80x_5,t-1+50x_5,t-2≤180,

x₁₁₊x₁₂+x₁₃+x₁₄x₁₅+x₁₆≤1; x₁₇=x₁₈=x₁₉=x_1,10=0;

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄+x₂₅+x₂₆+x₂₇≤1; x₂₈=x₂₉=x_2,10=0;

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄+x₃₅≤1; x₃₆=x₃₇=x₃₇=x₃₈=x₃₉=x_3,10=0;

x₄₁+x₄₂+x₄₃+x₄₄+x₄₅+x₄₆≤1; x₄₇=x₄₈=x₄₉=x_4,10=0;

x₅₁+x₅₂+x₅₃+x₅₄≤1; x₅₅=x₅₆=x₅₇=x₅₈=x₅₉=x_5,10=0;

Для вирішення задачі використовують підпрограму «пошук рішення» Excel. Через обмеженість інвестиційних ресурсів на початок планового періоду можна розпочати лише 2 проекти: 1-ий та 5 – ий, з 3-го періоду можна підключити 4 –ий , з 4 –го 3 –ій проект, а 2 –ий з 7 –го періоду. Такий план забезпечує безпарервне виконання кожного з проектів та максимальний чистий зведений дохід у сумі 1513,375 млн.грн. Але лише за відсутності ризику.