Заняття №5

1. Обчисліть:

2. Спростіть вираз, знявши знак модуля:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

3. При яких х мають місце наступні нерівності:

1. |-x|=|x|;

2. x+|-x|=0;

3. x+|x|=0;

4. x-|x|=0;

5. x+|x|=2x;

6. x|x|=x²;

7. x:|x|=1;

8. |x|:x+1=0.

4. Розв’яжіть рівняння:

1. |2x-1|=5;

2. |2-x|-3=0;

3. | 3x²-1|+1=0;

4. |x|= x²+2;

5. x|x|=1;

6. | x²-1|=2;

7. |5x+1|=0,5;

8. |x|(x+2)=3;

9. |-x|(1-|x|)=2

5. При яких a мають місце нерівності:

1. |-a|  a;

2. |a|  -a;

3. a|a|  a²;

4. a:|a|  -1;

5. a:|a| > 0;

6. a+|a|  2a;

7. a+|a|  0;

8. a-|a|  0;

9. a-|a|  0.

6. Розв’яжіть нерівність:

10. |x-2|  3;

11. |1-x|+1 < 0;

12. |2x-5|  0;

13. |2-5x| > 0;

14. |3-2x| > 0;

15. |2x+3| < 2x;

16. x²-|x|+2 > 0;

17. | x²-1|  2x;

18. |2x-3| < 5+2x|;

19. |x-3| < a;

20. |x+a|  1;

21. |x|(x-2)  1;

22. |x|:x+|x|  1;

23. |x-2|+|x+2| <

5. При яких x та y мають місце нерівності: |x+y|=|x|+|y|; |x-y|=|x|+|y|; |x-y|=|x|-|y|.

Заняття №6

1. Розв’яжіть рівняння:

1. |2x-3|=3-2x;

2. x|3x+5|=3x²+4x+3;

3. |2x+1|+|5-3x|+1-4x=0;

4. 2|x²+2x-5|=x-1;

5. (1+x)|x+2|+x|x-3|=6x+12;

6. x²+3|x|+2=0;

7. |x²-9|+|x-2|=5;

8. |x²+2x|-|2-x|=|x²-x|;

9. (x+1)²-2|x+1|+1=0;

10. 

11. ||x²-3x|-5|=x+1;

12. ||x+3|-|x-1||=2-x²;

13. ||3-2x|-1|=2|x|.

2. Розв’яжіть нерівність:

1. x²-2|x| < 3;

2. |2x+5|+|3x-7| > |4x+1|;

3. |x| < -x²+x+6;

4. 

5. 

6. |3x²-7x-6| < |x²+x|;

7. |x-6| < x²-5x+9;

8. ||x|-1| < 1-x;

9. 

10. 

11. |5-x| < |2-x|+|2x+7|;

12. |3x+2|+|2x-3|  1;

13. 

14. 

15. ||x³+x-3|-5|  x³-x+8;

16. ||3x+1|+|x+1||  2;

17. |2x-|x-2||  3;

18. |2x+1-|3x+1||  x+2;

19. | x²-| x²-x|| > 1;

20. | x²-5|x|+4|  |2x²-3|x|+1|.

Практичне заняття № 7

Контрольна робота № 2

Практичне заняття № 8-9

Тема: Доведення нерівностей..

Мета Оволодіння узагальненими методами доведення нерівностей:

Теоретичний блок:

1. Властивості числових нерівностей.

2. Основні методи доведення нерівностей.

Практичний блок:

8-е заняття

1. Довести, що якщо a>0, то має місце нерівність: a³+3a²+15 > 13a

2. Довести, що при будь-якому значенні a має місце нерівність:a⁸+a²+1 > a⁵+a

3. Довести нерівність:

4. Довести: 3³⁴ > 2⁵¹.

5. Довести: 202³⁰³ > 303²⁰².

6. Довести, що при будь-яких х має місце нерівність: x¹⁰-x⁷+x⁴-x²+1 > 0.

7. Довести, що якщо a  0, b  0, то має місце нерівність:

ab(12-2a-5b)  2a+5b

8. Довести, що при будь-яких дійсних a,b та c має місце нерівність:

9. Довести, що при будь-яких натуральних a має місце нерівність:

(a³+a²+a+1)²  16a³

10. Довести нерівність, де a,b,c та d – додатні числа

9-е заняття

1. Довести, що якщо a  0, b  0, c  0, d  0, то :

2. Довести нерівність:

3. Довести, що якщо a  0, b  0, c  0, то

4. Довести, що якщо a  0, то

5. Довести: где a >1, b >1, c >1.

6. Довести, що якщо a >0, b >0, c >0, то:

7. Довести, що якщо ab  0, cd  0, то:

8. Довести, що для m,n  N: