Две простые олимпиадные задачи

на использование сортировки подсчетом

От редакции. Уместно напомнить, что вместе ■ ^ 24/200. наши подписчики получили брошюру Методы поиска и сортировки", в которой содер­жится систематический обзор различных методов сортировки, в том числе и с точки зрения использо­вания их в олимпиадных задачах.

Задача «Палиндром»

Палиндром — это строка, которая читается оди­наково как справа налево, тик н слева направо.

Во входном файле записан набор больших ла­тинских букв (не обязательно различных). Разре­шается переставлять буквы, а также удалять неко­торые буквы. Требуется написать программу, кото­рая из данных букв по указанны.и правилам соста­вит палиндром наибольшей длины, а если таких палиндромов несколько, то первый в алфавитном порядке.

Формат входных данных

В первой строке записано число N (1 < N< 100 000). Во второй строке записана последовательность из N больших латинских букв (буквы записаны без про­белов).

Формат выходных данных

В единственной строке выдайте искомый палин­дром.

Примеры

Входные данные	Выходные данные
ДАВ	ABA
6 QAZQS.Z	AQZZQA
6

Решение

Сначала найдем решение задачи для строк, в которых каждая буква встречается четное коли­чество раз (второй пример как раз соответствует такому случаю). Естественно, что в этом случае палиндром наибольшей длины будет также иметь четную длину, и во второй его половине будут содержаться те же буквы, что и в первой, отра­женные зеркально относительно середины. При

М.С. ГУСТОКАШИН,

Москва

его составлении будут использованы все буквы исходной строки.

Таким образом, нам надо построить только пер­вую половину палиндрома (вторая получается вы­водом п обратном порядке), и количество вхожде­ний каждой буквы в первую половину должно со­ставлять половину от количества вхождений этой буквы в исходную строку.

Кроме того, необходимо, чтобы палиндром был наименьшим в алфавитном порядке. Для этого бук­вы, стоящие раньше по алфавиту, должны находить­ся как можно ближе к началу палиндрома.

Исходя из этого, можно построить решение для случая, когда все буквы входят в строку четное ко­личество раз. Будем идти по буквам, начиная с мень­ших по алфавиту, и выводить каждую вдвое мень­ше раз, чем она входила в исходную строку. После этого необходимо вывести вторую половину па­линдрома. Ее вывод отличается только тем, что перебирать буквы нужно от больших к меньшим (от Z к А).

Теперь рассмотрим случай, когда буквы встреча­ются нечетное количество раз. По свойству палин­дрома можно понять, что каждая буква должна иметь пару (т.е. входить в палиндром четное количество раз), кроме, возможно, одной буквы, которая будет находиться ровно посередине палиндрома (она бу­дет парной "сама с собой"). Таким образом, для случая с нечетным количеством букв генерация "по­ловинок" палиндрома будет полностью совпадать с четным случаем, но между половинками будет еще одна буква. Критерии выбора этой буквы следую­щие: во-первых, она должна входить в строку нечет­ное число раз, а во-вторых, среди всех букв, входя­щих нечетное количество раз, она должна быть наи­меньшей в алфавитном порядке (это требуется для того, чтобы сгенерировать наименьший в алфавит­ном порядке палиндром).

Алгоритм решения задачи понятен, осталось по­добрать наиболее удобную реализацию. В данном случае это будет сортировка подсчетом. Заведем массив от А до Z и на этапе считывания в каждой ячейке этого массива запомним, сколько раз она входила в исходную строку. Для этого при считыва­нии очередной буквы будем увеличивать соответ­ствующий элемент массива на единицу. После это­го предложенное выше решение легко реализуется.

28

2008 N» 1 ИНФОРМАТИКА

Формат выходных данных

И lU.lXOAM'"' '..... '" ..... ■

	: array	' -"■■' -		of
egin
for с		to ' .	1 do		заполняе!ь

Пример

readlr. (г.) ;

for i := i to :"- do begin read(c);

// увеличиваем - ^:£: элемент

I г. с (? vrr.t ' ~ ) ; end; for г :~ 'A' to ' ' do

for - : - 1 to г \тт,Ъ i с j div 2 do

w:;:ei:i; первая половина р.алиндрома for с := 'A' to ':' do

■/ ищем "нечетньо*" симвсг if syrijc; Bod С = 1 then begin write(C);

Еывели егс, :." --неинтересны : ^ •:; end; for r : ' _ ' downto ' Л' do

for i : = 1 to с vt-j: ; с; div 2 do = торзя ~з."~=:'на палиндрома

Задача «Шифровка»

Мальчик Петя чрезвычайно увлекается различны­ми шпионскими рассказами и недавно от чтения романов со стрельбой и погонями перешел к изуче­нию серьезной литературы. Особенно его заинтере­совал один из методов шифровки секретных сооб­щений, прочитанный им в брошюрке по крипто­графии из серии ''Библиотечка кровавого режима".

Метод заключается в следующем: среди большого количества чисел спрятано то, которое несет сек­ретную информацию, причем все числа встречают­ся трижды (или кратное трем число раз), кроме секретного числа, которое встречается некратное трем число раз. Так как Петя был маленьким и об­ладал чрезвычайно живым воображением, то он представил себе сотни шифровщиков с красными глазами, сидящих под зелеными лампами и с огром­ной напряженностью выискивающих секретное число на распечатках, ошибающихся и рвущих на себе волосы. Однако в реальности такой шифр легко взламывается компьютерной программой, которую вам предстоит написать.

Формат входных данных

Во входном файле записано целое число N — количество чисел (1 < N < 300 001). Далее записано X целых чисел Ad (1 < М < 2- 10').

Входные данные	Выходные данные
31231322133

Решение

Oi риничснис по памяти (при решении данной задачи можно было использовать не более 1 Мб оперативной памяти) и количество чисел не дает возможности ни сохранить все числа для последую­щей сортировки, ни даже просто запомнить их в единственном эклемиля]х*; кроме того, исходя из ограничения по времени и количеств;! чисел, мож­но сделать вывод, что палача должна решаться за и шейное время.

При решении этой задачи воспользуемся той же ::деей сортировки подсчетом. Допустим, что все числа состоят из одной цифры. Тогда нам достаточно по­считать, сколько раз встречалось каждое число (для хранения этих данных достаточно массива с индек­сами от 0 до 9). После этого среди всех чисел выбе­рем то, которое встречалось некратное трем число раз, его индекс и будет ответом. Для этого достаточ­но одного прохода по массиву и подсчета остатка от деления каждого элемента на 3.

Теперь попробуем найти решение для двузнач­ных чисел. В принципе мы можем сделать "сорти­ровку подсчетом" для всех чисел от 0 до 99, и этот метод будет работать. Но наша задача подразумева­ет числа до двух с лишним миллиардов и таким методом уже не решится, хотя бы потому, что мы не имеем доступа к 8 гигабайтам памяти. Поэтому будем искать правильное решение на примере дву­значных чисел.

Поступим следующим образом: разобьем каждое двузначное число на разряд десятков и разряд еди­ниц (однозначные числа будут иметь в качестве разряда десятков 0). Таким образом, мы получим две цифры, для которых можно по отдельности при­менить описанное выше решение задачи для цифр! После этого из двух полученных в качестве ответа цифр мы с легкостью можем получить ответ: умно­жим цифру десятков на 10 и прибавим к ней цифру единиц.

Аналогично составляется решение и для полной задачи, только вместо 2 используется уже 10 разрядов.

table : array[1..10, 0..9] of longint;

i, j, k, r. : longint; begin

for i := 1 to 10 do

2008 № 1 ИНФОРМАТИКА

29

for j := 0 to 9 do

// заполняем таблицу нулями table[i, j] := 0; :ead(n);

for i := 1 to r, do begin read(k);

j := 1; // номер разряда while к о 0 do begin // на месте j добавилась цифра к mod 10

inc(table[j, k mod 10]); // выкидываем последнюю цифру -- := k div 10;

переходим к следующему- разряду ir.c(j); end; end; ■: : ^; - ; здесь будем восстанавливать число

- начиная со старших разрядов for i := 10 downto 1 do begin // переходим к следующей цифре k := k • 10; // перебираем все цифры for j := С to 9 do

// нашли "секретную" цифру if tabled, j] mod 3 <> 0 then // и прибавляем ее к ответу к := k + j; end;

end.

У этой задачи существует и другое решение, в котором используется тема "системы счисления . Представим каждое число в троичной системе счис-

ления. Каждый т|Ч)ичный разряд будем рассматри­вать отдельно. Воспользуемся тем, что каждое число встречается трижды, т.е. в каждом разряди одна и та же цифра (допустим, л') встречается три раза. При суммировании r этом разряде получим 3 • х. Будем проводить поразрядное суммирование по модулю 3 (т.е. после каждого суммирования брать в каждом разряде остаток от деления на 3). 'Гак как порядок слагаемых не имеет значения, то все тройки чисел дадут н каждом разряде 0 (остаток от деления 3- х на 3 равен О независимо от значения х). В итоге, после такого суммирования всех чисел мы получим искомое число в троичной системе счисления (все остальные в сумме дадут 0 во всех разрядах). Оста­ется только перевести это число в десятичную сис­тему счисления и вывести его. При этом количество разрядов в т]юичном числе определяется из соотно­шения У" > 2 • 10'. Подбором легко определить ми­нимальное т — 20.

Мы научились восстанавливать число, если оно встречалось один раз (или Зк + 1 раз). Если число встречалось дважды (или Зк -\~ 2 раза), то следует в каждом разряде 2 заменить на 1, а 1 — на 2. Это объясняется тем, что два числа, имеющие 1 в данном разряде, в сумме дадут 2, а две 2— 1 (2+ 2 = 4, берем остаток от деления на 3 и получаем 1). Самый простой способ произвести замену — умножить каж­дый разряд на 2 и взять остаток от деления на 3. Для нулей ничего не меняется, они и в сумме дают ноль. Определить, какой из случаев имеет место, можно, посчитав остаток от деления на 3.

ФОТОКОНКУРС "МЫ УЧИМ И УЧИМСЯ ИНФОРМАТИКЕ»

2008 № I информатика

21

Две несложные олимпиадные задачи

по программированию с математическим

содержанием

Задача "Трамвай"

Трамвайная линии имеет вид примой. Мстя жи­вот в N трамвайных остановках от метро. Метро находится у нулевой остановки, и точке с координа­той 0.

Выходя ил метро. 11етя хочет попасть домой как можно быстрее, по он очень не любит ждать трамвай на остановке. Поэтому, если, подходя к очередной трамвайной остановке, он не видит трамвая, то идет пешком вдоль трамвайной линии. Если в какой-то момент Петя видит трамвай, то он может принять решение вернуться на остановку или продолжить свое движение к следующей остановке. Петя идет со ско­ростью U, трамвай едет со скоростью V. Нужно най­ти минимальное расстояние L которое должно про­сматриваться перед нулевой остановкой, чтобы он мог идти со своей скоростью в сторону дома, не опа­саясь, что траллвай его обгонит между остановками.

Формат входных данных

Во входном файле находятся три числа — N, U и V (N < 1000, U и V — положительные веществен­ные), за которым будет следовать N вещественных чисел — Х,,Х₂, -, X, (0<Л^г_| < Х₂ <...<Х„ < МУ), разделенных пробелами.

Формат выходных данных

В выходной файл ваша программа должна вывес­ти число /. с точностью до 10" . Примеры

Входные данные	Выходные данные
3 12 2 4 12	1.000

Решение

Рассмотрим положение Пети в некоторый момент, когда он находится в некоторой точке между оста­новками. Если он видит трамвай в этот момент, то у него есть два варианта: дойти до следующей останов­ки или вернуться на предыдущую. Чтобы минимизи­ровать расстояние, необходимо выбрать из двух этих вариантов лучший. Понятно, что Петя должен ока-

— М.С. ГУСТОКАШИН,

Москва

xrriioi на остановке одновременно с трамваем (ожи­дание нам ни к чему; если его исключить, то можно уменьшить дистанцию). Таким образом, нужно оп­ределить время, за которое трамвай доедет до преды-дум|ей и до следующей остановки. Проделаем то же самое дли Пети — посчитаем время его прихода на следующую остановку и на предыдущую. После это­го можно выбрать лучший из этих двух вариантов и, решив уравнение, определить расстояние, которое должно просматриваться перед нулевой остановкой. Теперь посмотрим внимательно на худший слу­чай, когда Петя приходит на обе остановки одно­временно с трамваем. Исходя из этого, можно со­ставить следующую систему уравнений:

(X\i + 1] + L)/V = (X\i + 1]- X[i\-dist)/U

Здесь / — номер предыдущей остановки, a (list — расстояние, на которое Петя отдалился от предыду­щей остановки. Из первого уравнения выразим dist

и подставим его во второе уравнение:

перенесем все слагаемые с I. в левую часть, а осталь­ные — в правую:

L/V + L/V = (Х[/ + 1] - X[i] )/U- (Х(/| + Х|< + Ц )/ V,

теперь можно выразить L:

I, = ((X[i + 1] - X\i] )/(./ х V -(X[i| + Х(/ + 1] ))/2 .

Таким образом, для любой пары последовательных остановок мы получили формулу для определения рас­стояния до нулевой остановки, на которое должен видеть Петя, чтобы не упустить трамвай. Так как трам­вай может появиться в любой момент, то для получе­ния окончательного ответа нужно перебрать все пары последовательных остановок и выбрать наибольшее из всех получившихся L. Из условия задачи можно понять, что L не может быть меньше нуля, т.е. в нача­ле программы следует записать туда 0.

var

у. : аггау[0. .1000] of double; i, n : longint; 1, maxl, u, v : double; begin

readln, u, v); x[0] := 0; maxl := 0;

22