
- •П.1. Поняття функціональної залежності, числова функція.
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Історія виникнення поняття функції.
- •3. Числова функція. Область визначення функції.
- •4. Способи задання функції
- •П.2. Неперервність функцій. Типи розривів числових функцій
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1. Неперервність функцій.
- •2. Типи розривів числових функцій
- •Тема 2. Степенева, показникова і логарифмічна функції. П.1. Логарифмування та потенціювання виразів
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Логарифмування виразів
- •Розв'язання
- •2.Потенціювання виразів.
- •Розв'язання
- •Тема 3 . Тригонометричні функції. П.1. Формули половинного аргументу, формули потрійного аргументу
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1. Формули половинного аргументу
- •2.Формули потрійного аргументу
- •Тема 4 . Рівняння, нерівності та їхні системи. П.1.Розв’язування задач, що приводять до розв’язування рівнянь та систем рівнянь
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Хімічні задачі
- •Задачі на рух.
- •Задачі, в яких кількість невідомих більша за кількість рівнянь системи.
- •Тема 5 . Вектори і координати. П.1. Вектори в просторі. Дії над векторами. Розклад вектора на складові
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Вектори в просторі. Дії над векторами.
- •Розклад вектора на складові.
- •Тема 6 . Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії.
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.
- •2. Формула площі трикутника за стороною і опущеною до неї висотою.
- •3.Формула Герона
- •4.Формули площ трикутника з використанням радіусів вписаного та описаного навколо трикутника кола
- •Тема 7 . Паралельність та перпендикулярність прямих і площин у просторі.
- •1.Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •2.Теорема про існування і єдиність прямої, яка проходить через дану точку і паралельна даній прямій
- •Ознака паралельності прямих
- •Доведення
- •П.2. Теореми про паралельні площини
- •Лекційний матеріал до теми
- •2. Теорема про відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами
- •Доведення
- •Розв'язання
- •П.3. Ознака перпендикулярності двох прямих в просторі
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 8. Похідна та її застосування.
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.2. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 9. Інтеграл та його застосування п.1. Правила знаходження первісної. Фізичні застосуванні первісної функції
- •Лекційний матеріал до теми
- •Правила знаходження первісних
- •Розв'язання
- •Розв'язання
- •2.Застосування первісної для відновлення рівняння руху точки
- •Розв'язання
- •П.2. Поняття криволінійної трапеції
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.3. Застосування визначеного інтегралу в економіці, техніці, фізиці.
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.4. Рівняння гармонійних коливань
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 10. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників п.1. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі. Двогранний кут
- •Лекційний матеріал до теми
- •1. Вимірювання відстаней у просторі.
- •Задача з точки м опустити перпендикуляр на пряму ав
- •2 . Поняття двогранного кута та його елементів, лінійного кута двогранного кута
- •Задача 3*
- •Задача 4*
- •Тема 11. Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання
- •Лекційний матеріал до теми
- •1. Комбінації многогранників
- •Задача1
- •Розв'язання
- •2.Комбінації многогранників і циліндра
- •3.Комбінації многогранників і конуса
- •4.Комбінації многогранників і кулі
- •5. Куля і конус
- •6. Куля і циліндр
- •7. Конус і циліндр
- •Тема 12. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 13. Повторення, узагальнення та систематизація навчального матеріалу, розв’язування задач.
- •Лекційний матеріал до теми
- •4. Геометрична прогресія.
- •Література
П.3. Застосування визначеного інтегралу в економіці, техніці, фізиці.
Література:
1 Є.П.Нелін, О.Є.Долгова Алгебра і початки аналізу. Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Харків. Світ дитинства. 2006)
2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків
3.М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань. Алгебра і початки аналізу.11
Методичні вказівки:
Студенти повинні вміти:
Застосовувати визначений інтеграл для розв’язування практичних задач з фізики, технічні задачі, економічні задачі.
Питання для самоконтролю:
Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити шлях тіла?
Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити роботу змінної сили?
Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити масу неоднорідного стержня?
Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити величину заряду?
Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити обсяг продукції?
Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.
План.
Визначення шляху точки, якщо відома її швидкість.
Визначення роботи змінної сили.
Маса неоднорідного стержня.
Визначення величини заряду, що переноситься через переріз провідника.
Визначення обсягу продукції виробленої за проміжок часу.
Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:
1.Поточний:
усне опитування
розв’язування задач.
2.Підсумковий:
тематична контрольна робота
державна підсумкова атестація
Лекційний матеріал до теми
Коментарі до таблиці.
1. Припустимо, що точка рухається по прямій (по осі ОХ) і нам відома швидкість цієї точки. Як знайти переміщення точки за проміжок часу [t1; t2]?
Розглянемо відрізок часу [t; t + Δt] і будемо вважати швидкість на цьому відрізку постійною. Тоді одержимо Δs(t) = v(t)·Δt, звідси
2. Нехай тіло рухається по осі ОХ, в кожній точці якої прикладена деяка сила F = F(x). Обчислимо роботу, яку треба виконати при переміщенні із точки х1 в точку x2. На маленькому відрізку шляху від точки x до точки x + Δx можна вважати силу постійною, яка дорівнює F(x). Тоді ΔА(x) = F(x)Δx. Звідси одержуємо, що всю роботу на відрізку [x1; x2] можна записати у вигляді інтеграла:
Приклад 2. Обчисліть роботу сили F при стиску пружини на 0,06 м,
якщо для її стиску на 0,01 м потрібна сила 5 Н.
Розв’язування.
За законом Гука, сила F пропорційна розтягу або стиску пружини, тобто
F = kx, де х — величина розтягу чи стиску (у метрах), k — постійна. З умови
задачі знаходимо k. Оскільки при x = 0,01 м сила F= 5 Н.
Отже, F (x) = kx = 500x.
Використовуючи дані задачі, одержуємо:
A
=
dx
=500
= 0,9 (Дж)
3. Розглянемо задачу обчислення маси неоднорідного стержня, якщо нам відомо, як змінюється його лінійна густина р(х). Візьмемо відрізок [x; x+Δx]. Вважаючи, що на цьому відрізку густина постійна, матимемо Δm(x) = р(x)Δx; звідси
4. Поставимо задачу обчислити заряд q, що переноситься за проміжок часу [t1; t2] через переріз провідника. Нехай задано закон зміни струму І = I(t) в залежності від часу. Тоді на малому проміжку часу [t; t + Δt] можна вважати силу струму постійною, яка дорівнює I(t), a Δq(x) = I(t) · Δt і, отже
№1
Тіло рухається прямолінійно з швидкістю
.Знайти
шлях, який пройшло тіло:
а) за інтервал часу від t1=5c до t2=10c
б) від початку руху до зупинки .
№2.
Точка рухається прямолінійно з
прискоренням
.Знайти
шлях, який пройшла точка за інтервал
часу t=1c
до
t2=3c,
якщо
в
момент
часу
t1=1c
швидкість
дорівнює
10 м/с.
№3.
Матеріальна точка, маса якої 5 кг,
рухається по осі абсцис так, що діюча
на неї сила
.
Знайти шлях, що пройде точка за проміжок
часу t1=2c
до
t2=5c,
якщо
відомо, що в момент часу
t=1c
її
швидкість буде
3м/с.
№4. Сила в 2H розтягує пружину на 6 м. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути пружину на 10см?
№5.
Знайти кількість електрики, що проходить
через поперечний переріз провідника
за 10 с,
якщо сила току змінюється за законом
№6.
Знайти масу неоднорідного стержня
довжиною 20 см,
якщо його лінійна густина змінюється
за законом
(кг/м).
№7.
Відомо, що продуктивність праці працівника
наближено виражається формулою
,
де t-
робочий час у годинах. Знайти обсяг
продукції виробленої до обіду (за перші
4 години роботи).