- •Лекція 9 Евклідові простори
- •§1. Основні поняття
- •А) Скалярний добуток
- •Б) Ортонормований базис
- •В) Скалярний добуток в координатах
- •Г) Ортогональне доповнення
- •Приклад.
- •§2. Лінійні перетворення в евклідовому просторі а) Перетворення, спряжене до даного
- •Властивості:
- •Б) Самоспряжені перетворення
- •Властивості:
- •В) Ортогональні перетворення
- •Властивості:
- •Лекція 10 Білінійні і квадратичні функції (форми)
- •§1. Лінійна функція (форма)
- •§2. Поняття білінійної та квадратичної функції
- •§3. Зведення квадратичної форми до суми квадратів
- •§4. Закон інерції квадратичних форм
- •§5. Класифікація квадратичних форм
- •§6. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
- •§7. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду
- •Виконаємо лінійне перетворення
§4. Закон інерції квадратичних форм
При зведенні квадратичної форми А(x, x) до суми квадратів різними способами можна отримати різні канонічні коефіцієнти . Однак має місце наступне твердження :
Теорема (закон інерції квадратичних форм).
Кількість доданків з додатніми (від’ємними) канонічними коефіцієнтами в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від способу зведення форми до цього вигляду.
Доведення (від супротивного).
Припустимо , що в базисі e=(e1, e2,…, en) квадратична форма А(x, x) має вигляд
А(x, x) , (*)
де – координати вектора x в цьому базисі, і нехай в іншому базисі e1’, e2’,…, en’
А(x, x) , (**)
де – координати вектора x в новому базисі. Припустимо, що, наприклад, p>k.
Розглянемо в просторі V підпростір , породжений векторами e1, e2,…, en, і підпростір , породжений векторами . Оскільки сума їх розмірностей p+(n-k) більша за n, то їх перетин має ненульову розмірність, тобто існує вектор , який належить . Цей вектор можна подати як у вигляді
,
так і у вигляді
.
Для вектора х за формулою (*)
А(x, x) ,
оскільки хоча б одне із .
В той же час для вектора х за формулою (**)
А(x, x) .
Ми отримали протиріччя, із якого випливає, що p k. Аналогічно доводиться: неможливість нерівності p<k. Значить, p=k. Так само доводиться, що q=m.
Ясно, що сума p+ q дорівнює рангу r квадратичної форми.
Приклад. Дослідити знаковизначеність квадратичної форми
.
Розв’язання. Запишемо матрицю цієї форми
.
Обчислимо кутові мінори:
,
отже, задана квадратична форма додатньовизначена.
§5. Класифікація квадратичних форм
Квадратична форма називається додатньо (від’ємно) визначеною, якщо для А(x, x) (А(x, x)) і додатньо (від’ємно) напіввизначеною (квазівизначеною), якщо А(x, x) (А(x, x) ).
Приклад.
Скалярний квадрат А(x, x) = (х,х) є додатньо визначеною квадратичною формою.
Ясно, що додатньо визначена квадратична форма зводиться до суми квадратів з додатніми канонічними коефіцієнтами, додатньо напіввизначена форма – з невід’ємними коефіцієнтами (деякі з них можуть дорівнювати нулю).
Теорема (критерій Сильвестра).
Для того, щоб квадратична форма А(x, x) була додатньо визначеною, необхідно і достатньо, щоб всі кутові мінори матриці А=[aij] були додатніми.
Для того ж, щоб квадратична форма була від’ємно визначеною, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувались, причому .
Доведення..
а)Необхідність. Покажемо спочатку, що із умови знаковизначеності квадратичної форми А(x, x) випливає , і=1, 2,..., n.
Переконаємось, що припущення веде до протиріччя – при цьому припущенні існує ненульовий вектор х, для якого А(x, x), що суперечить знаковизноченості форми.
Нехай . Розглянемо наступну квадратну однорідну систему лінійних рівнянь:
.
Оскільки - визначник цієї системи, і =0, то записана система рівнянь має ненульові розв’язки (не всі х рівні нулю ). Помножимо перше із рівнянь системи на , друге на , ..., останнє на і додамо отримані співвідношення. В результаті дістанемо рівність , ліва частина якої є значенням квадратичної форми А(x, x) для ненульового вектора х з координатами . Це значення рівне нулю, що суперечить знаковизначеності форми. Отже, , і=1,2,...,n.
Застосуємо метод Якобі зведення форми А(x, x) до суми квадратів. Якщо А(x, x) –додатньо визначена форма, то із формул для знаходження канонічних коефіцієнтів отримаємо ..., . Якщо ж А(x, x)– від’ємно визначена форма, то з тих же формул випливає, що знаки кутових мінорів чергуються, причому .
б) Достатність. Згідно умови теореми всі , і=1,2,...,n, тому, скориставшись методом Якобі, отримаємо у першому випадку додатньо, а в другому – від’ємно визначену квадратичну форму.