В) Скалярний добуток в координатах

Нехай е₁,е₂,...,е_п – довільний базис евклідового простору V, х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п, у=у₁е₁+у₂е₂+...+у_пе_п – два довільні вектори цього простору. Тоді

Якщо базис е₁,е₂,...,е_п – ортонормований, то

(x,y)=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n .

Помноживши обидві частини рівності х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п скалярно на е_і , отримаємо, що (х,е_і)=х_і, тобто і-та координата вектора х в ортонормованому базисі дорівнює скалярному добутку вектора х на одиничний вектор е_і. Цей скалярний добуток називають проекцією вектора х на вектор е_і. Отже, координати вектора в ортонормованому базисі – це його проекції на базисні вектори.

Г) Ортогональне доповнення

Два підпростори V₁ та V₂ евклідового простору V називаються взаємно ортогональними, якщо кожний вектор із V₁ ортогональний кожному вектору із V₂ (позначають V₁ V₂).

Приклад.

У звичайному тривимірному просторі площина хОу та вісь Z є взаємно ортогональними підпросторами.

В той же час площини хОу та уОz не є взаємно ортогональними підпросторами, оскільки не кожен вектор із хОz ортогональний довільному вектору із уОz.

Теорема 3. Для того, щоб підпростори V₁ та V₂ були взаємно ортогональними, необхідно і достатньо, щоб всі базисні вектори одного були ортогональні всім базисним векторам другого.

Доведення.

Необхідність випливає із означення.

Для доведення достатності припустимо, що е₁,е₂,...,е_k - базис V₁, f₁,f₂,…,f_m – базис V₂, причому (e_i,f_j)=0 для всіх i=1,2,...,k, j=1,2,…,m. Тоді для довільних та

отже, ці вектори ортогональні.

Теорема 4. Два взаємно ортогональних підпростори перетинаються по нульовому вектору.

Доведення.

Якщо підпростори V₁ та V₂ взаємно ортогональні, то

тоді (х,х)=0, звідки х=0. ▲

Нехай V₁ – довільний підпростір евклідового простору V. Виберемо в V₁ ортонормований базис е₁,е₂,...,е_r і доповнимо його до ортонормованого базису е₁,е₂,...,е_r,е_r+1,…,e_n всього простору V. Вектори е_r+1,…,e_n породжують (n-r)-вимірний простір V₂, ортогональний V₁.

Теорема 5. Кожний вектор х із V, ортогональний V₁, належить V₂.

Доведення.

Дійсно, якщо вектор х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п ортогональний V₁, то

(х,е_і)=х_і=0 при і=1,2,...,r,

звідки x=x_r+1e_r+1+…+x_ne_n .

Підпростір V₂, утворений всеможливими векторами із V, ортогональними до всіх векторів із V₁, називається ортогональним доповненням V₁. Позначають його .

Ясно, що

Підпростори V₁ і V₂ породжують V і перетинаються по нульовому вектору. Значить, евклідів простір V являє собою пряму суму довільного свого підпростору і його ортогонального доповнення:

Тому кожний вектор х із V можна однозначно подати у вигляді суми

x=y+z, де

§2. Лінійні перетворення в евклідовому просторі а) Перетворення, спряжене до даного

Нехай – лінійне перетворення евклідового простору . Лінійне перетворення , для якого при всіх x, y V

(Ax, y) = ( x, A^*y),

називається спряженим до A.

Покажемо, що для кожного лінійного перетворення A евклідового простору існує спряжене до нього перетворення , матриця якого в довільному ортонормованому базисі є транспонованою до матриці перетворення A.

Нехай A=[a_ij] – матриця лінійного перетворення A в ортонормованому базисі

e_1, e₂, …, e_n, – матриця, транспонована до , – лінійне перетворення з матрицею в тому ж базисі. Тоді, очевидно,

(Ae_i, e_j) = (a_1ie₁ + a_2ie₂ + … + a_jie_j + …+ a_nie_n, e_j) = a_ji,

(e_i, A*e_j) = (e_i, a_j1e₁ + a_j2e₂ + …+ a_jie_i …+ + a_jne_n) = a_ji,

тобто для всіх

(Ae_i, e_j) = (e_i, A*e_j).

Тоді, якщо x = x₁e₁ + x₂e₂ + … +x_ne_n i y = y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_n, то

(Ax, y) = (A x_ie_i, y_je_j) = x_iy_j(Ae_i e_j) i

(x, A*y) = ( x_ie_i, A* y_je_j) = x_iy_j(e_i, A*e_j) = x_iy_j(Ae_i e_j) = (Ax, y),

тобто перетворення є спряженим до A .