Лекція 10 Білінійні і квадратичні функції (форми)

§1. Лінійна функція (форма)

Кажуть, що в векторному просторі V задана лінійна функція f(x), якщо кожному вектору x V поставлено у відповідність число f(x), так, що виконані наступні умови:

1. f(x + y) = f(x) + f(y),

2. f(αx ) = α f(x),

де х, у – довільні вектори із V, а α - будь-яке дійсне число.

Щоб знайти вираження лінійної функції в координатах, виберемо в просторі V базис e₁, e₂, …, e_n. Нехай в цьому базисі довільний вектор x V зображається так:

x = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n.

Тоді

f(x) = f(x₁e₁ + x₂e₂ + … +x_ne_n) = x₁ f (e₁) + x₂ f (e₂) + … + x_n f (e_n).

Позначимо: f (e₁) = a₁, f (e₂) = a₂, ..., f (e_n) = a_n .

Таким чином, при фіксованому базисі лінійна функція f(x) подається лінійною формою:

f(x) = a₁ x₁ + a₂ x₂ + … + a_n x_n,

де - координати вектора х, - коефіцієнти, які не залежать від вектора х.

§2. Поняття білінійної та квадратичної функції

Задана у векторному просторі V функція двох змінних А(х, у) називається білінійною, якщо при фіксованому х вона лінійна за змінною у, а при фіксованому у – лінійна за х.

Отже, якщо А(х, у) - білінійна функція, то при всіх x, y, z V і довільному дійсному α :

A(х + у, z) = A(х, z) + A(y, z) ;

A(αх, y) = αA(х, у) ;

A(z, х + у) = A(z, х) + A(z, y) ;

A(х, αy) = αA(х, у)

Прикладом білінійної функції є скалярний добуток х, у.

Знайдемо вираження білінійної функції в координатах.

Нехай в просторі V заданий базис e₁, e₂, …, e_n і нехай

x = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n = x_ie_i, y = y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_n = y_je_j.

Тоді A(х, у) = A(x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n, y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_n) = x_i y_j A(e_i, e_j) = a_ij x_i y_j,

де коефіцієнти a_ij = A(e_i, e_j) залежать тільки від базису і не залежать від векторів х та у. Отже в даному базисі білінійна функція подається білінійною формою, тобто виразом a_ij x_i y_j. Матриця A = [a_ij] називається матрицею цієї білінійної форми.

Наприклад, скалярний добуток (х, у) подається наступною білінійною формою:

(х, у) = ( x_ie_i, y_je_j) = a_ij x_i y_j , , де a_ij = (e_i, e_j).

Вияснимо, як змінюється матриця білінійної форми при переході до нового базису.

Нехай в базисі e₁, e₂, …, e_n:

A(х, у) = a_ij x_i y_j, де a_ij = A(e_i, e_j),

і нехай e'₁, e'₂, …, e'_n - новий базис , в якому:

A(х, у) = b_pq x'_p y'_q, де b_pq = A(e'_p, e'_q).

Покладемо A = [a_ij], B = [b_pq] і позначимо через C = [c_ij] матрицю переходу від старогo базису до нового. Тоді:

e'_p = c_1p e_{1 +} c_2p e₂ + … + c_np e_n,

e'_q = c_1q e_{1 +} c_2q e₂ + … + c_nq e_n ,

b_pq = A(e'_p, e'_q) = A(c_1p e_{1 +} c_2p e₂ + … + c_1n e_n, c_1q e_{1 +} c_2q e₂ + … + c_nq e_n) =

= c_ip c_jq A(e_i, e_j) = c_ip c_jq a_{ij =} c_ip a_ij c_jq .

Позначимо c_ip через d_pi , де матриця [d_pi] = C' - транспонована до матриці C = [c_ip].

Тоді b_pq = d_pi a_ij c_jq . Далі, оскільки a_ij c_jq є елемент, який знаходиться в і-му рядку та q-му стовпчику матриці АС, то d_pi a_ij c_{jq =} d_pi ( a_ij c_jq) - це елемент, який знаходиться в p-му рядку і q-му стовпчику матриці . Отже, .

Ранг матриці білінійної форми не залежить від вибору базису і може бути названий тому рангом білінійної форми.

Білінійна форма називається симетричною, якщо x, y, V :

A(х, у) = A(y, x ).

У цьому випадку a_ij = a_ji, тобто матриця [a_ij] симетричної білінійної форми в довільному базисі буде симетричною.

Прикладом симетричної білінійної форми є скалярний добуток.

Якщо в симетричній білінійній формі A(х, у) покласти х = у, то отримається квадратична форма А(х, х). Із квадратичної форми однозначно визначається і відповідна їй симетрична білінійна форма. Дійсно,

A(х + y, х + y ) = А(х, х) + А(y, y)+ A(х, у)+ A(y, x ), звідки

A(х, у) = [ A(х + y, х + y ) - А(х, х) - А(y, y)].

Білінійна функція називається кососиметричною, якщо

x, y, V : A(х, у) = - A(y, x ).

В заданому базисі кососиметрична білінійна функція подається кососиметричною білінійною формою A(х, у) = a_ij x_i y_j, де a_ij = - a_ji, при всіх i,j, зокрема, a_ii = 0 при всіх і.