- •Векторні простори
- •§1. Основні поняття а) Означення
- •Б) Розмірність і базис
- •§2. Лінійні перетворення а) Основні поняття
- •Б) Операції над лінійними перетвореннями
- •В) Перехід до нового базису
- •Г) Ранг і дефект лінійного перетворення
- •Д) Інваріантні підпростори
- •Е) Власні вектори і власні значення лінійного перетворення
- •Звідси із лінійної незалежності векторів e1,e2,…,en випливає:
Лекція 8
Векторні простори
§1. Основні поняття а) Означення
Множина V елементів x, y, z,… називається лінійним, або векторним, простором, якщо сума х+у довільних двох її елементів х, у і добуток αх кожного її елемента х на будь-яке число α теж належать множині V, причому виконуються наступні умови:
0 – називають нульовим елементом.
–х називають елементом, протилежним до х.
1·х=х.
Елементи векторного простору називають векторами.
Приклади векторних просторів.
Множина многочленів не вище п-го степеня з дійсними коефіцієнтами.
Множина розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь.
Множина всеможливих рядків, які містять п дійсних чисел.
Якщо в просторі V визначено множення його елементів на дійсні (комплексні) числа, то V називають дійсним (комплексним) векторним простором.
Із означення векторного простору випливають наступні властивості.
Єдиність нуля.
Якщо припустити існування двох нульових елементів 01 і 02, то із 01+02=01 та 02+01=02 і того, що 01+02=02+01, випливає 01=02.
Єдиність протилежного елемента.
Якщо припустити існування двох протилежних до х елементів y та z, таких, що х+у=0 і х+z=0, то із
y+x+z=y+(x+z)=y+0=y та
y+x+z=(y+x)+z=0+z=z
випливає y=z.
0 · x = 0.
Дійсно, 0 · x = (0 + 0) x = 0 · x + 0 · x. Додавши до обох частин рівності - 0 · x , отримаємо 0 = 0 · x.
Дійсно, Додавши до обох частин рівності отримаємо
Якщо добуток αх=0, то або α=0, або х=0.
Дійсно, якщо то
є протилежним до х.
Дійсно, х+(-1)х=1·х+(-1)х=[1+(-1)]x=0·x=0, звідки (-1)х= -х.
Б) Розмірність і базис
Вектори а1, а2,…,аk векторного простору V називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа одночасно не рівні нулю, що
В іншому випадку вектори називають лінійно незалежними.
Якщо вектори а1,а2,…,аk лінійно залежні, тобто , і, наприклад, то
тобто
де
Це означає, що вектор аk є лінійною комбінацією решти векторів системи. Отже, якщо вектори а1, а2,…,аk лінійно залежні, то, принаймні, один із них лінійно виражається через решту. Ясно, що справедливе і зворотнє твердження.
Максимальна кількість лінійно незалежних векторів системи векторів а1, а2,…,аk називається рангом цієї системи. Позначають rank{ а1, а2,…,аk}.
Довільна матриця містить дві системи векторів:
систему векторів – рядків {а1,а2,…,аm} і систему векторів – стовпчиків
, де аі=(аі1,аі2,…,аіп), і=1,2,…,m, , j=1,2,…,n.
Ранг системи рядків довільної матриці А дорівнює рангу її стовпчиків і називається рангом матриці А. Позначається rankA або r(A).
Таким чином, для знаходження рангу матриці досить з допомогою елементарних перетворень над рядками (стовпчиками) звести її до ступінчастого вигляду і підрахувати кількість ненульових рядків (стовпчиків), яка й дорівнюватиме кількості лінійно незалежних серед них, а, отже, рангу матриці.
Приклад.
Знайти ранг матриці.
.
Розвязання.
Зведемо матрицю А до ступінчастого вигляду з допомогою елементарних перетворень її рядків:
Отже, r(A)=3.
Розмірністю векторного простору V називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому. Позначається dimV
(від dimage-фр).
Наприклад, розмірність множини всіх векторів площини дорівнює два, розмірність множини просторових векторів – три. Простори із скінченною розмірністю називаються скінченновимірними.
Базисом простору V називають впорядковану скінченну систему векторів, якщо:
вона лінійно незалежна;
кожний вектор простору V є лінійною комбінацією векторів цієї системи.
Коефіцієнти даної лінійної комбінації називаються компонентами або координатами вектора за цим базисом.
В заданому базисі компоненти вектора визначаються однозначно.
Дійсно, при двох заданнях вектора х в базисі а1,а2,…,аk, зокрема, та , отримаємо Оскільки всі коефіцієнти (бо система а1, а2,…,аk лінійно незалежна), то
В п-вимірному просторі кожна впорядкована лінійно незалежна система із п лінійно незалежних векторів є базисом. Ясно, що в п-вимірному просторі кожну впорядковану лінійно незалежну систему із k<n векторів можна доповнити до базису.
Розглянемо в просторі V два базиси: е=(е1,е2,…,еп) та (перший з них назвемо старим, а другий – новим). Виразимо кожний вектор нового базису через вектори старого базису:
Можна сказати, що нові базисні вектори виражаються через старі з допомогою матриці
стовпчиками якої є коефіцієнти їх розкладу за векторами старого базису. Матриця А називається матрицею переходу від базису е до базису . Матриця переходу є невиродженою, оскільки в іншому випадку її стовпчики, а, отже, і вектори , були б лінійно залежними.
Розглянемо зв’язок між координатами одного і того ж вектора в старому і новому базисах.
Нехай х=х1е1+х2е2+…+хпеп і
Підставивiи замість їх вирази через е1,е2,…,еп, отримаємо
Із єдиності розкладу вектора х за базисом е1,е2,…,еп, випливає
звідки .
Таким чином, старі координати вектора отримуються із нових з допомогою тієї ж матриці А, тільки коефіцієнти відповідних розкладів утворюють тепер рядки цієї матриці.
Приклад.
Нехай е1, е2 – одиничні вектори, розташовані вздовж осей прямокутної декартової системи координат. Повернемо осі координат на кут φ проти годинникової стрілки і позначимо нові базисні вектори через та . Кути, утворені вектором з векторами е1 і е2, рівні відповідно φ і
(див. малюнок). Тому координати цього вектора в базисі е1, е2 рівні і значить, . Аналогічно, кути вектора з векторами е1 і е2 рівні відповідно і φ, тому координати його в базисі
е1, е2 рівні і , значить,
e2
φ
φ
e1
Таким чином, матриця переходу від базису е1, е2 до базису , матиме вигляд
Тоді старі координати виражаються через нові так:
звідки
в) Підпростори векторного простору
Підпростором векторного простору V називається сукупність V1 його елементів, яка сама є векторним простором відносно введених в V операцій додавання і множення на число.
Для встановлення того, що деяка підмножина V1 векторного простору V є його підпростором, досить показати, що для довільних двох векторів х та у із V1 їх сума х+у теж належить V1, і що для довільного вектора і довільного добуток теж належить V1. Це твердження випливає із аксіом 1, 2, 5-8 векторного простору.
Приклади.
У звичайному тривимірному векторному просторі підпросторами є всі площини і всі прямі, які проходять через початок координат.
Сам простір V і множина із одного нульового елемента теж є підпросторами простору V (тривіальними).
Перетином двох підпросторів V1 і V2 векторного простору V називається множина всеможливих векторів із V, що належить одночасно і V1, і V2. Перетин теж є підпростором і позначається
Сумою двох підпросторів V1 і V2 називається множина векторів вигляду де Сума теж є підпростором і позначається V1+V2.
Теорема. Якщо V1 і V2 – підпростори векторного простору V, то
Доведення.
В підпросторі виберемо довільний базис е1, е2,…, еk і доповнимо його до базису V1 з одного боку:
е1, е2,…,еk, fk+1,…,fp (*1)
і до базису V2 з другого боку:
е1, е2,…,еk, gk+1,…,gs (*2).
Покажемо , що вектори е1, е2,…,еk, fk+1,…, fp, gk+1,…,gs лінійно незалежні.
Припустимо, що ці вектори лінійно залежні:
Тоді вектор
належить одночасно і V1, і V2, а, значить, і їх перетину Але тоді він повинен лінійно виражатись через базисні вектори підпростору :
тобто
.
Звідси і з єдиності розкладу вектора а за базисом простору V1 маємо
Тоді матимемо
звідки, із лінійної незалежності базисних векторів простору V2 маємо
Отже, вектори е1, е2,…,еk, fk+1,…, fp, gk+1,…,gs утворюють лінійно незалежну систему. Але тоді вони утворюють базис простору V1+ V2, оскільки, якщо вектор то z=x+y, де і, значить, х лінійно виражається через (*1), а у – через (*2). Але тоді вектор z лінійно виражається через вектори
е1, е2,…, еk, fk+1,…, fp, gk+1,…,gs.
Таким чином, розмірність підпростору V1+ V2 дорівнює
k+(p-k)+(s-k)=p+s-k.
Але dimV1=p, dimV2=s, Тоді
dimV1+dimV2=p+s і
що й треба довести.