- •Векторні простори
- •§1. Основні поняття а) Означення
- •Б) Розмірність і базис
- •§2. Лінійні перетворення а) Основні поняття
- •Б) Операції над лінійними перетвореннями
- •В) Перехід до нового базису
- •Г) Ранг і дефект лінійного перетворення
- •Д) Інваріантні підпростори
- •Е) Власні вектори і власні значення лінійного перетворення
- •Звідси із лінійної незалежності векторів e1,e2,…,en випливає:
Б) Операції над лінійними перетвореннями
Сумою двох лінійних перетворень А та ℬ називається таке перетворення А+В, при якому
Властивості:
А+В = В+А.
(А+В)+С = А+(В+С).
А+ Ơ = А.
Добутком лінійного перетворення А на число α називається таке теж лінійне перетворення αА, при якому
Властивості:
1·А = А.
α(βА)=(αβ)А.
(α+β)А=αА+βА.
α(А+В)=αА+αВ.
Добутком лінійних перетворень А та В називається таке теж лінійне перетворення АВ, при якому
Властивості:
(АВ)ℂ=А(Вℂ).
Аℰ=А.
(А+В)ℂ=Аℂ+Вℂ.
ℂ(А+В)=ℂА+ℂВ.
Для кожного невиродженого лінійного перетворення А існує таке (обернене до А) лінійне перетворення А-1, що
А∙А-1=А-1·А=ℰ.
Ясно, що добуток невироджених лінійних перетворень теж є невиродженим лінійним перетворенням.
В) Перехід до нового базису
Нехай лінійне перетворення А в базисі е=(е1,е2,…,еп) має матрицю А, а в базисі - матрицю . Знайдемо зв’язок між ними.
Позначимо через С матрицю переходу від базису е до базису . Тоді
Будемо матрицю переходу С розглядати як матрицю лінійного перетворення С в базисі е. Тоді
Значить, лінійне перетворення С переводить вектори базису е у вектори базису . Відомо, що тоді визначник матриці С відмінний від нуля, значить, для С існує обернене перетворення С-1, при якому
За умовою,
.
Застосуємо до обох частин цієї рівності перетворення С-1:
.
Підставимо в ліву частину :
,
тобто матрицею перетворення в базисі е є матриця Але, з другого боку матриця цього перетворення рівна добутку матриць відповідних перетворень в базисі е, тобто .
Ясно, що визначник матриці лінійного перетворення не залежить від базису:
Приклад.
В базисі е1, е2 перетворення А має матрицю
Написати матрицю цього перетворення в базисі
Розв’язування.
Матриця переходу Тоді Звідси
Г) Ранг і дефект лінійного перетворення
Сукупність всеможливих векторів вигляду Ах, де , називається областю значень або образом лінійного перетворення А. Позначається ImА.
Сукупність всеможливих векторів , для яких Ах=0, називається ядром лінійного перетворення А. Позначається KerА.
І образ, і ядро лінійного перетворення А є підпростором в V.
а) Якщо ImА, то х=Ах1, у=Ау1, де ,
то х+у=Ах1+Ау1=А(х1+у1), де і, значить, ImА ,
αх=αАх1=А(αх1), де і, значить, αх ImА .
Отже, ImА – підпростір простору V.
б) Якщо KerА, тобто якщо Ах=0 і Ау=0, то і
А(х+у)= Ах+Ау=0+0=0 і А(αх)=αАх=α·0=0,
тобто KerА і KerА.
Отже, KerА – підпростір простору V.
Розмірність образу перетворення А dim(ImА) співпадає з рангом матриці А цього перетворення і називається рангом перетворення А. Дійсно, підпростір ImА породжується векторами Ае1, Ае2,..., Аеп, де е={e1, e2,…, en} – довільний базис простору V і, значить, розмірність ImА дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних стовпчиків матриці А.
Розмірність ядра dim(KerА) називається дефектом лінійного перетворення А.
Важливим є твердження, що сума рангу і дефекту лінійного перетворення А дорівнює розмірності п простору V. Тобто,
dim(ImА) + dim(KerА) = n.