Звідси із лінійної незалежності векторів e1,e2,…,en випливає:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1пх_п=λх₁,

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2пх_п=λх₂,

………………………………

а_п1х₁+а_п2х₂+…+а_ппх_п=λх_п,

звідки:

або .

Для існування ненульового розв’язку цієї однорідної системи необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю:

Ліва частина останньої рівності являє собою многочлен п-го степеня відносно λ, який називається характеристичним многочленом перетворення А в базисі е. Він є визначником матриці А-λЕ.

Таким чином, доведено, що кожне власне значення перетворення А є коренем його характеристичного многочлена. І навпаки, кожний корінь характеристичного многочлена перетворення А буде його власним значенням (відповідні власні вектори знаходяться із останньої системи, яка в даному випадку рівності визначника нулю обов’язково має ненульові розв’язки).

Теорема 2. Характеристичний многочлен лінійного перетворення не залежить

від вибору базису.

Доведення.

Характеристичний многочлен перетворення А в базисі е нехай буде Нехай новий базис утворюється із старого за допомогою матриці переходу С. Тоді характеристичний многочлен перетворення А в базисі має вигляд:

▲

Запишемо характеристичний многочлен перетворення А:

Видно, що α₁=а₁₁+а₂₂+...+а_пп, тобто дорівнює сумі діагональних елементів матриці А (ця сума називається слідом матриці А). З другого боку,

= є визначником матриці А. Звідси випливає, що для того, щоб перетворення А було невиродженим, необхідно і достатньо, щоб було відмінне від нуля, тобто щоб перетворення А не мало нульових власних значень.