4.3. Метод искусственного базиса

В задачах линейного программирования, где все ограничения являются неравенствами типа "≤" (с неотрицательной правой частью), дополнительные (остаточные) переменные позволяют сформировать начальное допустимое базисное решение. Естественно, возникает вопрос: как найти начальное допустимое базисное решение в задачах ЛП, где есть ограничения в виде равенств или неравенств типа "≥"?

Наиболее общим способом построения начального допустимого базисного решения задачи ЛП является использование искусственных переменных. Эти переменные в первой итерации играют роль дополнительных остаточных переменных, но на последующих итерациях от них освобождаются. Разработано два тесно связанных между собой метода нахождения начального решения, которые используют искусственные переменные: М-метод и двухэтапный метод.

Рассмотрим М-метод:

Пусть задача ЛП записана в стандартной форме. Для любого равенства i, в котором не содержится дополнительная положительная переменная, введем искусственную переменную R_i, которая далее войдет в начальное базисное решение. Но, поскольку эта переменная искусственна (другими словами, не имеет никакого "физического смысла" в данной задаче), необходимо сделать так, чтобы на последующих итерациях она обратилась в нуль. Для этого в выражение целевой функции вводят штраф.

Переменная R_i с помощью достаточно большого положительного числа М штрафуется путем ввода в целевую функцию выражения -MR_i в случае максимизации целевой функции и выражения +MR_i — в случае минимизации. Вследствие этого штрафа естественно предположить, что процесс оптимизации симплекс-метода приведет к нулевому значению переменной R_i. Следующий пример проясняет детали этого метода.

Пример №1

Дана математическая модель задачи линейного программирования:

Стандартная форма этой задачи получается в результате добавления дополнительной отрицательной (избыточной) переменной х₃ во второе неравенство и дополнительной положительной (остаточной) переменной x₄ в третье неравенство.

Эта задача в стандартной форме будет записана следующим образом:

В полученной задаче первое и второе уравнения не имеют дополнительных (остаточных) переменных, которые можно ввести в базисное решение. Поэтому введем в эти уравнения искусственные переменные R1 и R2 а в целевую функцию добавим штраф MR1 + MR2. В результате получим следующую задачу ЛП.

В этой модифицированной задаче переменные R1, R2 и х4 используются в качестве начального допустимого базисного решения. В результате получим следующую симплекс-таблицу:

Переменные Базис	х1	х2	х3	R1	R2	х4	свободные члены bj
R1	3	1	0	1	0	0	3
R2	4	3	-1	0	1	0	6
х4	1	2	0	0	0	1	4
F	-4	-1	0	-M	-M	0	0

Заметьте, что в данном методе коэффициенты целевой функции заносятся с противоположным знаком не зависимо от направления поиска.

Прежде чем применять симплекс-метод, надо согласовать значения в F-строке с остальной частью таблицы. В частности, значение функции F, соответствующее начальному базисному решению R₁= 3, R₂=6 и х₄ = 4, должно равняться ЗM+6M+0=9M, а не 0, как показано в таблице. Это противоречие связано с тем, что переменным R₁ и R₂ соответствуют ненулевые коэффициенты (-M, -М) в строке F, где обычно дополнительным переменным соответствуют нулевые коэффициенты. Чтобы сделать эти коэффициенты нулевыми, следует умножить элементы строк R₁ и R₂ на величину M, и затем сложить эти строки с F-строкой. (Обратите внимание на "подсвеченные" единицы в этих строках — если бы эти коэффициенты были отличны от единиц, то необходимо было бы сначала разделить все элементы этих строк на данные коэффициенты.) Кратко это действие можно записать следующим образом:

Новая F-строка = старая F-строка + MR₁-строка + MR₂-строка.

Измененная симплекс-таблица примет следующий вид:

Переменные Базис	х1	х2	х3	R1	R2	х4	свободные члены b
R1	3	1	0	1	0	0	3
R2	4	3	-1	0	1	0	6
х4	1	2	0	0	0	1	4
F	-4+7M	-1+4M	-M	0	0	0	9M

Отметим, что теперь F = 9M, что соответствует базисному решению R₁= 3, R₂=6 и х₄ = 4.

Последняя таблица готова к применению симплекс-метода с использованием условий оптимальности и допустимости. Поскольку минимизируем целевую функцию, то находим наибольший положительный коэффициент в F-строке. Наибольший коэффициент -4 +7М соответствует переменной x₁ которая и будет вводимой. Условие допустимости (оценочное отношение) указывает на переменную R₁ в качестве исключаемой.

Поскольку вводимая и исключаемая переменные определены, новую симплекс-таблицу можно вычислить с помощью метода Жордана-Гаусса. Заметим, что вычисления в F-строке, где присутствует M, следует проводить алгебраически. Так, для получения новой F-строки необходимо новую ведущую строку умножить на -(-4 + 7М) и сложить с текущей F-строкой. В результате получим следующую таблицу:

Переменные Базис	х1	х2	х3	R1	R2	х4	свободные члены b
x1	1	1/3	0	1/3	0	0	1
R2	0	5/3	-1	-4/3	1	0	2
х4	0	3/5	0	-1/3	0	1	3
F	0	(1+5M)/3	-M	(4-7M)/3	0	0	4+2M

Отметим, что уже первая итерация исключила из базисного решения искусственную переменную R₁, что является результатом включения штрафа в целевую функцию.

Последняя таблица показывает, что следующими (вводимой и исключаемой) переменными будут х₂ и R₂ соответственно. Конечно, для получения оптимального решения может потребоваться больше двух итераций.

В данной задаче оптимальным решением будет x₁= 2/5, х₂ = 9/5, х₃=1 и F= 17/5.

Пример №2

Дана математическая модель задачи линейного программирования:

Стандартная форма этой задачи получается в результате добавления дополнительной положительной (остаточной) переменной х₅ во второе неравенство и дополнительной отрицательной (избыточной) переменной x₆ в третье неравенство. Эта задача в стандартной форме будет записана следующим образом.

В полученной задаче третье уравнение не имеет дополнительной положительной переменной, которую можно ввести в базисное решение. Поэтому введем в это уравнение искусственную переменную а в целевую функцию добавим штраф . В результате получим следующую задачу ЛП.

В результате получим следующую симплекс-таблицу:

Переменные Базис	х1	х2	х3	х4	x5	x6	R1	свободные члены bj
х4	2	1	-2	1	0	0	0	24
х5	1	2	4	0	1	0	0	22
R1	1	-1	2	0	0	-1	1	10
F	-3	3	-6	0	0	0	-M	0

Прежде чем применять симплекс-метод, надо согласовать значения в F-строке с остальной частью таблицы.

Новая F-строка = старая F-строка - MR₁-строка

Измененная симплекс-таблица примет следующий вид:

Переменные Базис	х1	х2	х3	х4	x5	x6	R1	свободные члены bj
х4	2	1	-2	1	0	0	0	24
х5	1	2	4	0	1	0	0	22
R1	1	-1	2	0	0	-1	1	10
F	-3-M	3+M	-6-2M	0	0	M	0	-10M

Поскольку максимизируем целевую функцию, то находим наибольший по модулю отрицательный коэффициент в F-строке. Наибольший по модулю отрицательный коэффициент -6 -2М соответствует переменной x₃ которая и будет вводимой.

Переменные Базис	х1	х2	х3	х4	x5	x6	R1	свободные члены bj	Оценочное отношение
х4	2	1	-2	1	0	0	0	24	∞
х5	1	2	4	0	1	0	0	22	22/4
R1	1	-1	2	0	0	-1	1	10	10/2
F	-3-M	3+M	-6-2M	0	0	M	0	-10M

Условие допустимости (оценочное отношение) указывает на переменную R₁ в качестве исключаемой. В результате получим следующую таблицу:

Переменные Базис	х1	х2	х3	х4	x5	x6	R1	свободные члены bj
х4	3	0	0	1	0	-1	1	34
х5	-1	4	0	0	1	2	-2	2
х3	0,5	-0,5	1	0	0	-0,5	0,5	5
F	0	0	0	0	0	-3	3M	30

Отметим, что уже первая итерация исключила из базисного решения искусственную переменную R₁.

Переменные базис	х1	х2	х3	х4	x5	x6	R1	свободные члены bj	Оценочное отношение
х4	3	0	0	1	0	-1	1	34	∞
х5	-1	4	0	0	1	2	-2	2	1
х3	0,5	-0,5	1	0	0	-0,5	0,5	5	∞
F	0	0	0	0	0	-3	3M	30

Полученный план не оптимален, т.к. в целевой строке содержится отрицательный элемент. Наибольший по модулю отрицательный коэффициент -3 соответствует переменной x₆ которая и будет вводимой.

Оценочное отношение указывает на переменную x₆ в качестве исключаемой.

Переменные базис	х1	х2	х3	х4	x5	x6	R1	свободные члены bj	Оценочное отношение
х4	2,5	2	0	1	0,5	0	0	35	14
х6	-0,5	2	0	0	0,5	1	-1	1	∞
х3	0,25	0,5	1	0	0,25	0	0	5,5	22
F	-1,5	6	0	0	1,5	0	M	33

Полученный план не оптимален, т.к. в целевой строке содержится отрицательный элемент. Наибольший по модулю отрицательный коэффициент -1.5 соответствует переменной x₁ которая и будет вводимой.

Оценочное отношение указывает на переменную x₄ в качестве исключаемой.

Переменные базис	х1	х2	х3	х4	x5	x6	R1	свободные члены bj
х1	1	0,8	0	0,4	0,2	0	0	14
х6	0	2,4	0	0,2	0,6	1	-1	8
х3	0	0,3	1	-0,1	0,2	0	0	2
F	0	7,2	0	0,6	1,8	0	M	54

Полученный план оптимален. Результат можно записать как:

х₁₌14

х₂₌0, т.к. ее нет в базисе

х₃₌2

F=54

Проведем проверку: .

При использовании M-метода следует обратить внимание на следующие два обстоятельства.

1. Использование штрафа М-может и не привести к исключению искусственной переменной в конечной симплекс-итерации. Если исходная задача линейного программирования не имеет допустимого решения (например, система ограничений несовместна), тогда в конечной симплекс-итерации по крайней мере одна искусственная переменная будет иметь положительное значение. Это "индикатор" того, что задача не имеет допустимого решения.

2. Теоретически применение М-метода требует, чтобы M→∞. Однако с точки зрения компьютерных вычислений величина М должна быть конечной и, вместе с тем, достаточно большой. Как понимать термин "достаточно большая" — это открытый вопрос. Величина М должна быть настолько большой, чтобы выполнять роль "штрафа", но не слишком большой, чтобы не уменьшить точность вычислений. На практике вы должны помнить о возможных ошибках машинного округления при выполнении вычислений, в которых совместно участвуют как большие, так и малые числа.