Задачи для самостоятельного решения

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Глава 7. Транспортная задача

Транспортные задачи (ТЗ) – специальный класс задач линейного программирования. Эти модели часто описывают перевозку какого-либо товара из пункта отправления в пункт назначения. Транспортная задача ставится следующим образом: имеется m пунктов отправления A₁, A₂, . . . , A_m, в которых сосредоточены запасы однородных грузов в количестве соответственно a₁, a₂, . . . , a_m единиц. Имеется n пунктов назначения В₁, В₂, . . . , В_n, подавших заявки соответственно на b₁, b₂, . . . , b_n единиц груза. Если сумма всех заявок равна сумме всех запасов

,

то задача называется задачей закрытого типа. Известны стоимости С_ij перевозки единицы груза от каждого пункта отправления A_i до каждого пункта назначения B_j. Все числа C_ij образующие прямоугольную матрицу, заданы:

.

Считается, что стоимость перевозки нескольких единиц груза пропорциональна их числу. Требуется составить такой план перевозок, чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Обозначим x_ij - количество единиц груза, отправляемого из пункта A_i в пункт назначения B_j . Неотрицательные переменные xij можно записать в виде матрицы:

.

Эти неотрицательные переменные должны удовлетворять следующим условиям:

1) Суммарное количество груза, направляемого из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу груза в данном пункте. Это даёт m условий-равенств:

2) Суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт назначения из всех пунктов отправления, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом. Это даёт n условий-равенств:

3) Суммарная стоимость всех перевозок должна быть минимальной:

В силу особой структуры ТЗ все операции по нахождению оптимального плана сводятся к манипуляциям непосредственно с таблицей. Транспортная таблица состоит из m строк и n столбцов. В верхнем левом углу каждой клетки будем указывать стоимость C_ij перевозки единицы груза из А_i в В_j , а в правом нижнем углу помещаем перевозку x_ij.

Таблица 1. Структура транспортной таблицы

Заказы Запасы		B1		B2		…	Bn
		b1		b2		…	bn
A1	a1	c11		c12		…	c1n
			x11		x12			x1n
A2	a2	c21		c22		…	c2n
			x21		x22			x2n
…	…	…		…		…	…
Am	am	cm1		cm2		…	cmn
			xm1		xm2			xmn

Алгоритм решения транспортной задачи:

Шаг 1: составляется опорный план методом северо-западного угла или наименьшей стоимости.

Шаг 2: проверяется вырожденность плана. Если число заполненных перевозками клеток в опорном плане меньше, чем (m+n-1), то план называется вырожденным. Для вырожденного плана невозможно использовать метод потенциалов. Для превращения вырожденного плана в невырожденный необходимо в незаполненные клетки с наименьшим тарифом внести ноль, превратив их в заполненные клетки. При этом число заполненных клеток должно быть равно (m+n-1).

Шаг 3: для полученного распределения поставок подбирается потенциалы строк и столбцов так, чтобы коэффициенты затрат заполненных клеток стали равны нулю. Составляется матрица оценок.

Шаг 4: если оценки всех свободных клеток неотрицательны, то найденное распределение оптимально, и решение закончено. Если среди оценок свободных клеток есть отрицательные, то выбирается максимальная по модулю для передачи в неё поставки.

Шаг 5: для избранной свободной клетки строится означенный цикл пересчёта. Поставка y, передаваемая по циклу, определяется как минимум среди поставок в клетках со знаком «-». Найденная поставка передвигается по циклу. При этом поставка в клетках цикла со знаком «+» увеличивается на y, а в клетках со знаком «-» уменьшается на y. Клетка, поставка в которой при этом станет равной нулю, будет считаться свободной, остальные клетки цикла – заполненными. Таким образом, получено новое базисное распределение поставок.

Шаг 6: перейди к третьему шагу алгоритма.

Алгоритм составления опорного плана методом северо-западного угла:

В данном методе запасы очередного по номеру поставщика используются для обеспечения запросов очередных по номеру потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.

Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла, поэтому и называется метод северо-западного угла.

Метод состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или один потребитель.

Начинаем с распределения запасов 1-го поставщика. Если запасы первого поставщика больше запросов первого потребителя, то записываем в клетку (1,1) сумму запроса первого потребителя и переходим ко второму потребителю. Если же запасы первого поставщика меньше запросов первого потребителя, то записываем в клетку (1,1) сумму запасов первого поставщика, исключаем из рассмотрения первого поставщика и переходим ко второму поставщику.

Пример №1

Решить транспортную задачу, условия которой заданы таблицей (таблица 2).

Таблица 2. Условие транспортной таблицы

Потребности Запасы		B1		B2			B3			B4			B5
		170		140			200			195			145
A1	350	22			14			16			28			30
A2	200	19			17			26			36			36
A3	300	37			30			31			39			41

Решение:

, следовательно, задача закрытого типа.

В случае добавляется фиктивный поставщик с запасом и с нулевыми стоимостями перевозок.

В случае добавляется фиктивный потребитель с потребностью и с нулевыми стоимостями перевозок.

Шаг 1.

Первоначальное распределение поставок выполняем методом северо-западного угла.

Итерация 1:

Начинаем с распределения запасов 1-го поставщика: A1=350>B1=170. В клетку (1,1) записываем сумму запроса первого потребителя x₁₁ = min(350,170) = 170, при этом уменьшаем запас A1 и заказ В1 на эту сумму. Получаем: А1=350-170=180, В1=170-170=0. Весь заказ первого потребителя был выполнен, поэтому его столбец выходит из рассмотрения, т.е. все ячейки в этом столбике зачеркиваются (таблица 3).

Таблица 3. Метод северо-западного угла. Итерация 1

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170/0		140		200		195		145
A1	350/ 180	22		14		16		28		30
			170		000		000		000		000
A2	200	19		17		26		36		36
A3	300	37		30		31		39		41

Итерация 2:

Переходим ко второму потребителю В2. A1=180>B2=140 записываем в клетку (1,2) x₁₂ = min(180,140) = 140 сумму заказа второго потребителя 140, при этом уменьшаем запас A1 и заказ В2 на эту сумму. Получаем А1=180-140=40, В2=140-140=0. Весь заказ второго потребителя выполнен, поэтому его столбец выходит из рассмотрения (таблица 4).

Таблица 4. Метод северо-западного угла. Итерация 2

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170/0		140/0		200		195		145
A1	350/ 180/40	22		14		16		28		30
			170		140		000		000		000
A2	200	19		17		26		36		36
A3	300	37		30		31		39		41

Итерация 3:

Переходим к третьему потребителю В3. A1=40<B3=200 записываем в клетку (1,3) x₁₃ = min(40,200) = 40 оставшуюся сумму запаса первого поставщика, при этом уменьшаем запас A1 и заказ В3 на эту сумму. Получаем А1=40-40=0, В3=200-40=160. Запас первого поставщика исчерпан, поэтому его строка выходит из рассмотрения (таблица 5).

Таблица 5. Метод северо-западного угла. Итерация 3

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170/0		140/0		200/ 160		195		145
A1	350/ 180/40/0	22		14		16		28		30
			170		140		40		000		000
A2	200	19		17		26		36		36
A3	300	37		30		31		39		41

Итерация 4:

Переходим ко второму поставщику A2. A2=200>B3=160 записываем в клетку (2,3) x₂₃=min(200,160)=160 сумму заказа третьего потребителя 160, при этом уменьшаем запас A2 и заказ В3 на эту сумму. Получаем А2=200-160=40, В3=160-160=0. Весь заказ второго потребителя выполнен, поэтому его столбец выходит из рассмотрения (таблица 6).

Таблица 6. Метод северо-западного угла. Итерация 4

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170/0		140/0		200/ 160/0		195		145
A1	350/ 180/40/0	22		14		16		28		30
			170		140		40		000		000
A2	200/ 40	19		17		26		36		36
							160
A3	300	37		30		31		39		41

Итерация 5:

Переходим к четвертому потребителю В4. A2=40<B4=195 записываем в клетку (2,4) x₂₄ = min(40,195) = 40 оставшуюся сумму запаса второго поставщика, при этом уменьшаем запас A2 и заказ В4 на эту сумму. Получаем А2=40-40=0, В4=195-40=155. Весь запас второго поставщика исчерпан, поэтому его строка выходит из рассмотрения (таблица 7).

Таблица 7. Метод северо-западного угла. Итерация 5

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170/0		140/0		200/ 160/0		195/ 155		145
A1	350/ 180/40/0	22		14		16		28		30
			170		140		40		000		000
A2	200/ 40/0	19		17		26		36		36
							160		40
A3	300	37		30		31		39		41

Итерация 6:

Переходим к третьему поставщику A3. A3=300>B3=155 записываем в клетку (3,4) x₃₄=min(300,155)=155 сумму заказа третьего потребителя 155, при этом уменьшаем запас A3 и заказ В4 на эту сумму. Получаем А3=300-155=145, В4=155-155=0. Весь заказ четвертого потребителя выполнен.

Таблица 7. Метод северо-западного угла. Итерация 6

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170/0		140/0		200/ 160/0		195/ 155/0		145
A1	350/ 180/40/0	22		14		16		28		30
			170		140		40				000
A2	200/ 40/0	19		17		26		36		36
							160		40
A3	300/ 145	37		30		31		39		41
									155

Итерация 7:

Остался последний шаг метода северо-западного угла, когда остались один потребитель и один поставщик с одной и той же суммой. Заносим ее последнюю ячейку и закрываем таблицу, т.е. получили итоговую таблицу первоначального плана поставок

Таблица 8. Первоначальное распределение поставок

методом северо-западного угла. Итерация 7

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170		140		200		195		145
A1	350	22		14		16		28		30
			170		140		40
A2	200	19		17		26		36		36
							160		40
A3	300	37		30		31		39		41
									155		145

Шаг 2.

Проверяем вырожденность плана.

Число заполненных перевозками клеток = 7 и (m+n-1)=3+5-1=7. План невырожден.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

.

Шаг 3.

Находим оптимальное распределение методом потенциалов.

Для этого расширим таблицу на 1 столбец для потенциала U, и на одну строку для потенциала V.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u1 + v1 = 22; 0 + v1 = 22; v1 = 22 u1 + v2 = 14; 0 + v2 = 14; v2 = 14 u1 + v3 = 16; 0 + v3 = 16; v3 = 16 u2 + v3 = 26; 16 + u2 = 26; u2 = 10

u2 + v4 = 36; 10 + v4 = 36; v4 = 26 u3 + v4 = 39; 26 + u3 = 39; u3 = 13 u3 + v5 = 41; 13 + v5 = 41; v5 = 28

Проставим потенциалы строк и столбцов ui и vj в расширенную транспортную таблицу (таблица 9).

Таблица 9. Расширенная таблица с потенциалами

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5		U
		170		140		200		195		145
A1	350	22		14		16		28		30		u1 = 0
			170		140		40
A2	200	19		17		26		36		36		u2 = 10
							160		40
A3	300	37		30		31		39		41		u3 = 13
									155		145
V		v1 = 22		v2 = 14		v3 = 16		v4 = 26		v5 = 28

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

Составим матрицу оценок, вычитая из стоимости каждой клетки потенциалы строк и столбцов. a_ij= c_ij-u_i - v_j.

Матрица оценок:

A=

Т. к. в матрице оценок есть отрицательные коэффициенты, распределение поставок не оптимальное. Перераспределим поставку в клетку (2, 1), поскольку в ней максимальное по модулю отрицательная оценка. Построим цикл пересчёта.

Циклом называется такая последовательность клеток таблицы транспортной задачи (i1, j1),(i1, j2),(i2, j2),...,(ik, j1), в которой две и только две соседние клетки распложены в одной строке или столбце, причем первая и последняя клетки также находятся в одной строке или столбце. Примеры: На рисунке 1 изображены возможные варианты циклов пересчета, где:

*заполненные ячейки;

+ ячейка в которую нужно сделать поставку.

Это не единственные варианты, могут быть и другие циклы.

Рис.1. Схемы возможных циклов пересчёта

В нашем случае цикл будет выглядеть так:

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170		140		200		195		145
A1	350	22	-	14		16	+	28		30
			170		140		40
A2	200	19	+	17		26	-	36		36
							160		40
A3	300	37		30		31		39		41
									155		145

В углах цикла проставим знаки «+» и «-» чередуя их. Начнем с выбранной клетки для поставки и со знака «+». Цикл приведен в таблице (2,1; 2,3; 1,3; 1,1).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е.:

.

Прибавляем 160 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 160 из х_ij, стоящих в минусовых клетках. Обратите внимание на то, что ячейка в которой ранее было число 160, теперь становится свободной . В результате получим новый опорный план (таблица 10).

Таблица 10. Новый опорный план ТЗ

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170		140		200		195		145
A1	350	22		14		16		28		30
			10		140		200
A2	200	19		17		26		36		36
			160						40
A3	300	37		30		31		39		41
									155		145

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 22; 0 + v₁ = 22; v₁ = 22

u₂ + v₁ = 19; 22 + u₂ = 19; u₂ = -3

u₂ + v₄ = 36; -3 + v₄ = 36; v₄ = 39

u₃ + v₄ = 39; 39 + u₃ = 39; u₃ = 0

u₃ + v₅ = 41; 0 + v₅ = 41; v₅ = 41

u₁ + v₂ = 14; 0 + v₂ = 14; v₂ = 14

u₁ + v₃ = 16; 0 + v₃ = 16; v₃ = 16

Рассчитываем матрицу оценок. Можно не пересчитывать всю матрицу оценок, а рассчитать только те значения, для которых u_i + v_i > c_ij:

(1;4): 0 + 39 > 28; a₁₄ = 28 -0 - 39 = -11

(1;5): 0 + 41 > 30; a₁₅ = 30 - 0 - 41 = -11

(2;5): -3 + 41 > 36; a₂₅ = 36 - (-3) - 41 = -2

Опорный план не является оптимальным, т.к. матрица оценок содержит отрицательные числа.

Выбираем максимальную по модулю оценку свободной клетки (1;4), хотя можно выбрать и свободную клетку (1;5). Построим цикл пересчета, для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника (1,4; 1,1; 2,1; 2,4) чередующиеся знаки «-», «+», «-» (таблица 11).

Таблица 11. Цикл пересчета

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5		U
		170		140		200		195		145
A1	350	22	-	14		16		28	+	30		u1 = 0
			10		140		200
A2	200	19	+	17		26		36	-	36		u2 = -3
			160						40
A3	300	37		30		31		39		41		u3 = 0
									155		145
V		v1 = 22		v2 = 14		v3 = 16		v4 = 39		v5 = 41

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. . Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план (таблица 12).

Таблица 12. Новый опорный план ТЗ

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170		140		200		195		145
A1	350	22		14		16		28		30
					140		200		10
A2	200	19		17		26		36		36
			170						30
A3	300	37		30		31		39		41
									155		145

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 14; 0 + v₂ = 14; v₂ = 14

u₁ + v₃ = 16; 0 + v₃ = 16; v₃ = 16

u₁ + v₄ = 28; 0 + v₄ = 28; v₄ = 28

u₂ + v₄ = 36; 28 + u₂ = 36; u₂ = 8

u₂ + v₁ = 19; 8 + v₁ = 19; v₁ = 11

u₃ + v₄ = 39; 28 + u₃ = 39; u₃ = 11

u₃ + v₅ = 41; 11 + v₅ = 41; v₅ = 30

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(2;2): 8 + 14 > 17; a₂₂ = 17-8 - 14 = -5

(2;5): 8 + 30 > 36; a₂₅ = 36-8 - 30 = -2

Выбираем максимальную по модулю оценку свободной клетки (2;2).

Построим цикл пересчета, для этого в перспективную клетку (2;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника (2,2; 2,4; 1,4; 1,2 )чередующиеся знаки «-», «+», «-» (таблица 13).

Таблица 13. Цикл пересчета

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170		140		200		195		145
A1	350	22		14	-	16		28	+	30
					140		200		10
A2	200	19		17	+	26		36	-	36
			170						30
A3	300	37		30		31		39		41
									155		145

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. . Прибавляем 30 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 30 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план (таблица 14).

Таблица 14. Новый опорный план ТЗ

Потребности Запасы		B1		B2		B3		B4		B5
		170		140		200		195		145
A1	350	22		14		16		28		30
					110		200		40
A2	200	19		17		26		36		36
			170		30
A3	300	37		30		31		39		41
									155		145

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 14; 0 + v₂ = 14; v₂ = 14

u₂ + v₂ = 17; 14 + u₂ = 17; u₂ = 3

u₂ + v₁ = 19; 3 + v₁ = 19; v₁ = 16

u₁ + v₃ = 16; 0 + v₃ = 16; v₃ = 16

u₁ + v₄ = 28; 0 + v₄ = 28; v₄ = 28

u₃ + v₄ = 39; 28 + u₃ = 39; u₃ = 11

u₃ + v₅ = 41; 11 + v₅ = 41; v₅ = 30

Опорный план является оптимальным (таблица 14), так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

.