- •Оглавление
- •Глава 9. Теория систем массового обслуживания 98
- •Введение
- •Глава 1. Построение математической модели задачи линейного программирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 2. Графический метод решения задач линейного программирования
- •1. Изобразим на плоскости систему координат
- •2. Рассмотрим ограничения неотрицательности
- •3. Строим множество точек, соответствующее множеству решений системы ограничений.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 3. Стандартная и каноническая формы задачи линейного программирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 4. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •4.1.Общая идея симплексного метода
- •4.2.Табличный симплексный метод
- •4.3. Метод искусственного базиса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 5. Двойственная задача линейного программирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 6. Целочисленные задачи линейного программирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 7. Транспортная задача
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 8. Теория игр
- •8.1. Общие понятия
- •8.2. Решение игр в чистых стратегиях
- •8.3. Решения игр в смешанных стратегиях
- •8.3.1. Решение игры 2×2 в смешанных стратегиях
- •8.3.2. Решение игры 2×2 в смешанных стратегиях геометрическим методом
- •8.3.3. Решение игр вида 2×n и m×2 геометрическим методом
- •8.4. Решение матричной игры m×n симплексным методом
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 9. Теория систем массового обслуживания
- •9.1. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания
- •9.2. Определение характеристик одноканальных систем массового обслуживания
- •9.2.1. Одноканальная смо с отказами
- •9.2.2. Одноканальная смо с ожиданием и ограниченной длиной очереди
- •9.2.3. Одноканальная смо с ожиданием без ограниченной длины очереди
- •9.3. Определение характеристик многоканальных систем массового обслуживания
- •9.3.1. Многоканальная система массового обслуживания с отказами
- •9.3.2 Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием и неограниченной очередью
- •9.4. Модель замкнутой системы массового обслуживания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек шерсть, силон и нитрон, запасы, которых составляют 820, 430 и 310 кг. Количество пряжи каждого вида(в кг), необходимой для изготовления одного изделия, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице.
Вид сырья |
Нормы расхода пряжи |
|
Свитера |
Кофточки |
|
Шерсть |
0,4 |
0,2 |
Силон |
0,2 |
0,1 |
Нитрон |
0,1 |
0,1 |
Прибыль |
7,8 |
5,6 |
Составить математическую модель для определения плана выпуска изделий, максимизации прибыли.
Задача 2.
Для изготовления трёх видов изделий используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов используемого оборудования, недельный фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида приведены в таблице.
Тип оборудования |
Затраты времени на обработку изделия |
Общий фонд раб. времени |
||
1 |
2 |
3 |
||
Фрезерное |
3 |
4 |
5 |
230 |
Токарное |
2 |
8 |
6 |
300 |
Сварочное |
7 |
5 |
4 |
250 |
Шлифовальное |
5 |
6 |
7 |
340 |
Прибыль |
52 |
73 |
66 |
|
Составить математическую модель для определения сколько следует изготовить предприятию количество изделий каждого вида, чтобы прибыль от их реализации была максимальной?
Задача 3.
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трёх видов в количествах соответственно равных 48, 62 и 36 штук. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество заготовок при данном способе раскроя, а также величина отходов, которые получаются при каждом способе раскроя одного листа, приведены в таблице.
Вид заготовки |
Количество заготовок (шт.) при раскрое по способу |
Нужное количество заготовок |
|
1 |
2 |
||
I |
3 |
2 |
38 |
II |
4 |
5 |
64 |
III |
6 |
4 |
52 |
Величина отходов(см2) |
124 |
114 |
|
Составить математическую модель для определения сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить, чтобы получить не менее нужного количества заготовок при минимальных отходах.
Задача 4.
Кондитерская фабрика для производства трёх видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку, фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 т карамели приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья, которое может быть использовано фабрикой, а также произведена прибыль от реализации 1 т карамели данного вида.
Вид сырья |
Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели |
Общее количество сырья (т) |
||
А |
В |
С |
||
Сахарный песок |
0,8 |
0,5 |
0,6 |
800 |
Патока |
0,4 |
0,4 |
0,3 |
600 |
Фруктовое пюре |
- |
0,1 |
0,1 |
120 |
Прибыль от реализации 1 т продукции (руб.) |
108 |
112 |
126 |
|
Составить математическую модель для определения плана производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от её реализации.
Задача 5.
При откорме животных каждое животное ежедневно должно получать не менее 60 единиц питательного вещества А, не менее 50 единиц вещества В и не менее 12 единиц вещества С. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в одном кг каждого из видов корма приведено в таблице.
Питательные вещества |
Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма |
||
I |
II |
III |
|
А |
1 |
3 |
4 |
В |
2 |
4 |
2 |
С |
1 |
4 |
3 |
Составить математическую модель для составления дневного рациона, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма I вида составляет 9 коп, корма II вида – 12 коп, корма III вида – 10 коп.
Задача 6.
Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции приведены в таблице. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида.
Вид сырья |
Нормы расходов сырья (кг) на одно изделие |
Общее количество сырья |
|
А |
В |
||
I |
12 |
4 |
300 |
II |
4 |
4 |
120 |
III |
3 |
12 |
252 |
Прибыль от реализации одного изделия (руб.) |
30 |
40 |
|
Составить математическую модель для составления такого плана выпуска изделий, при котором прибыль предприятия от их реализации будет максимальной.
Задача 7.
Для производства двух видов изделий А и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Составить математическую модель для определения плана выпуска изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
Тип оборудования |
Затраты времени (станко-час.) на обработку одного изделия |
Общий фонд полезного рабочего времени оборудования (час.) |
|
А |
В |
||
Фрезерное |
10 |
8 |
168 |
Токарное |
5 |
10 |
180 |
Шлифовальное |
6 |
12 |
144 |
Прибыль от реализации одного изделия (руб.) |
14 |
18 |
|
Задача 8.
На предприятии выпускается три вида изделий. При этом используется три вида сырья (данные представлены в таблице). Составить математическую модель для определения максимума общей стоимости.
Тип сырья |
Нормы затрат на единицу продукции, кг |
Запасы сырья, кг |
||
I вид |
II вид |
III вид |
||
I |
1 |
2 |
1 |
430 |
II |
3 |
0 |
2 |
460 |
III |
1 |
4 |
0 |
420 |
Цена изделия, $ |
3 |
2 |
5 |
|
Задача 9.
Мини-завод производит два популярных безалкогольных напитка: «Живая вода» и «Доброе утро». Объем выпуска ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью технологического оборудования. Для производства 1 л «Живой воды» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Доброго утра» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 10 г и 40 г на 1 л «Живой воды» и «Доброго утра», соответственно. Ежедневно в распоряжении предприятия имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Доход составляет 0,1 ед. стоимости на 1 л «Живой воды» и 0,3 ед. стоимости на 1 л «Доброго утра».
Составить математическую модель задачи для определения, сколько количества продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель - максимизация прибыли?
Задача 10.
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трёх видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 штук. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Составить математическую модель для определения, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.
Вид заготовки |
Количество заготовок (шт.) при раскрое по способу |
|
1 |
2 |
|
I II III |
2 5 2 |
6 4 3 |
Величина отходов (см2) |
12 |
16 |
Задача 11.
На звероферме могут выращиваться чёрно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Составить математическую модель для определения, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.
Вид корма |
Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать |
Общее количество корма |
|
лисица |
песец |
||
I II III |
2 4 6 |
3 1 7 |
180 240 426 |
Прибыль от реализации одной шкурки (руб.) |
16 |
12 |
|
Задача 12.
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Составить математическую модель задачи для определения сколько корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными?
Питательное вещество |
Количество питательных веществ в 1 кг корма |
|
1 |
2 |
|
А |
2 |
1 |
В |
2 |
4 |
Цена 1 кг корма, тыс.руб. |
0,2 |
0,3 |
Задача 13.
Для изготовления четырех видов продукции используется три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице. Составить математическую модель для определения оптимальной производственной программы на максимум общей стоимости.
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
I |
1 |
2 |
1 |
0 |
18 |
II |
1 |
1 |
2 |
1 |
30 |
III |
1 |
3 |
3 |
2 |
40 |
Цена изделия |
12 |
7 |
18 |
10 |
|
Задача 14.
Для изготовления четырех видов продукции используется три вида сырья. Запасы, нормы расхода сырья и прибыль от реализации единицы каждого продукта приведены в таблице. Составить математическую модель для определения максимума прибыли.
Тип сырья |
Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие |
Запасы сырья, кг |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
I |
2 |
1 |
0,5 |
4 |
2400 |
II |
1 |
5 |
3 |
0 |
1200 |
III |
3 |
0 |
6 |
1 |
3000 |
Прибыль на единицу продукции, $ |
7,5 |
3 |
6 |
12 |
|
Задача 15.
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.
Составить математическую модель для определения максимума общей стоимости.
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
I |
1 |
0 |
2 |
1 |
120 |
II |
0 |
1 |
3 |
2 |
240 |
III |
4 |
2 |
0 |
4 |
800 |
Цена изделия |
9 |
6 |
4 |
7 |
|
Задача 16.
Для производства трех видов продукции используется три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого из продуктов приведены в таблице. Составить математическую модель для определения максимума общей стоимости.
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
||
А |
Б |
В |
||
I |
4 |
2 |
1 |
180 |
II |
3 |
1 |
3 |
210 |
III |
1 |
2 |
5 |
244 |
Цена изделия, $ |
10 |
14 |
12 |
|
Задача 17.
Фабрика "Турпищепром" выпускает два вида консервированных продуктов питания: "Завтрак туриста" и "Обед туриста". Используемые для производства ингредиенты не являются дефицитными. Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов. Соответствующая информация приведена в таблице. Составить математическую модель для определения максимума прибыли.
Цех |
Необходимый фонд рабочего времени, чел.-ч на тонну |
Общий фонд рабочего времени, чел.-ч в месяц |
|
"Завтрак" |
"Обед" |
||
№1. Производство |
4 |
10 |
1000 |
№2. Добавка приправ |
2 |
3 |
360 |
№3. Упаковка |
5 |
2 |
600 |
Прибыль от реализации одной тонны, $ |
75 |
150 |
|
Задача 18.
Для изготовления четырех видов продукции используется три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице. Составить математическую модель для определения максимума общей прибыли.
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
I |
2 |
1 |
3 |
2 |
200 |
II |
1 |
2 |
4 |
8 |
160 |
III |
2 |
4 |
1 |
1 |
170 |
Прибыль от реализации изделия |
5 |
7 |
3 |
6 |
|
Задача 19.
Фабрика выпускает три вида тканей. Суточные ресурсы фабрики, их расход на единицу ткани и цена 1 метра выпускаемой продукции представлены в таблице.
Составить математическую модель для определения максимума общей стоимости.
Ресурсы |
Нормы затрат на производство 1 м ткани |
Суточный лимит |
||
I |
II |
III |
||
Оборудование |
2 |
3 |
4 |
700 |
Сырье |
1 |
4 |
5 |
800 |
Электроэнергия |
3 |
4 |
2 |
600 |
Цена |
8 |
7 |
6 |
|
Задача 20.
Предприятие выпускает три вида изделий, используя при этом три вида сырья (данные представлены в таблице). Составить математическую модель для определения максимума общей стоимости.
Тип сырья |
Нормы затрат на единицу продукции, кг |
Запасы сырья, кг |
||
I |
II |
III |
||
I |
18 |
15 |
12 |
360 |
II |
6 |
4 |
8 |
192 |
III |
5 |
3 |
3 |
180 |
Цена изделия, $ |
9 |
10 |
16 |
|