8.4. Решение матричной игры m×n симплексным методом

Методами линейного программирования может быть решена любая игра двух лиц с нулевой суммой.

Пусть игра задана платёжной матрицей .

Оптимальная стратегия Р* удовлетворяет следующему требованию: она обеспечивает игроку А средний выигрыш, не меньший, чем цена игры γ, при любой стратегии игрока В. Если игрок А применяет смешанную стратегию против любой чистой стратегии В_j игрока В, то он получает средний выигрыш:

, .

Поэтому получаем систему неравенств:

(1)

Причём для p_i выполняются следующие ограничения:

(2)

Таким образом задача игрока А может быть записана в виде:

Максимизировать F=γ при ограничениях (1) и (2).

Аналогично для игрока В задача формулируется следующим образом:

МинимизироватьW=γ, при ограничениях:

Задача игрока В является двойственно к задаче игрока А. Решим задачу для игрока А. Полагаем, что γ0, этого можно добиться, сделав все элементы a_ij>0. Каждое из неравенств системы (1) разделим на γ и введём новые переменные.

Тогда система (1) примет вид:

Разделив на γ равенство (2), получаем, что переменные x_i (i=1,…,m) удовлетворяют условию Максимизация цены игры эквивалентна минимизации величины , поэтому целевая функция задачи имеет вид:

F=x₁+x₂+. . . +x_mmin

Полученная задача относительно игрока А решается симплексным методом, а задача относительно игрока B решается двойственным симплексным методом.

Порядок решения может быть любой. Решаем симплексным методом задачу относительно игрока А, а затем по теореме двойственности о соответствии переменных находим ответ задачи относительно игрока B, или наоборот решаем двойственным симплексным методом задачу относительно игрока В, а затем по теореме двойственности о соответствии переменных находим ответ задачи относительно игрока А. Можно решить симплексным методом задачу относительно игрока А и двойственным симплексным методом задачу относительно игрока В.