9.3.2 Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием и неограниченной очередью

Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями λ  и μ  соответственно; параллельно обслуживаться могут не более S клиентов. Система имеет S каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна - .

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:

           (32)

 Решение системы уравнений (32) имеет вид:

	(33)
	(34)

где

                                                  (35)

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: . 

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

1. вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании, определяется по формулам (33) и (34);

2. среднее число клиентов в очереди на обслуживание

;                                                       (36)

3. среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)

;                                                            (37)

4. средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди

;                                                                (38)

5. средняя продолжительность пребывания клиента в системе

;                                                             (39)

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Пример №5

Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую,  пуассоновский и имеет интенсивность λ  = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно =0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

• вероятности состояний системы;

• среднее число заявок в очереди на обслуживание;

• среднее число заявок, находящихся в системе;

• среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

• среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение:

1. Определим параметр потока обслуживаний

_.

2. Приведенная интенсивность потока заявок

,

при этом .

Поскольку , то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

3. Вычислим вероятности состояний системы:

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской

5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание

.

6. Среднее число находящихся в системе заявок

.

7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание

  суток.

8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)

 суток.