Глава 2. Графический метод решения задач линейного программирования
Графически способ решения задач линейного программирования целесообразно использовать для:
решения задач с двумя переменными, когда ограничения выражены неравенствами;
решения задач со многими переменными при условии, что в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных.
Запишем задачу линейного программирования с двумя переменными:
Целевая функция:
(1)
Ограничения:
(2)
(3)
Система неравенств (2)и (3) определяет некоторую область решений D.
Областью решений системы линейных неравенств может быть:
выпуклый многоугольник (рис. 1, а),
выпуклая многоугольная область (рис. 1,б),
одна точка (рис. 1,в)
пустое множество (рис. 1,г).
Рис.1. Область решений системы линейных неравенств
Среди точек множества D требуется найти такую точку, в которой функция F принимает максимальное (минимальное) значение.
В случае г) такой точки не существует, следовательно, задача не имеет решения.
В случае в) единственная точка области D является решением.
В случаях а) и б) необходимо построить линию уровня целевой функции, т.е. линию уровня, вдоль которой эта функция принимает одно и то же фиксированное значение d, т.е.:
(4)
Уравнение (4) есть уравнение прямой линии. При различных значениях d линии уровня параллельны. Известно, что направлением наибольшего возрастания функции F является направление, задаваемое вектором:
(5)
Если
передвигать линию уровня в направлении
,
значение F
будет возрастать, если передвигать в
противоположном направлении - убывать.
В крайней точке области D,
через которую проходит линия уровня,
достигается максимальное (или минимальное)
значение целевой функции. Если линия
уровня окажется параллельной стороне
многоугольника D,
то задача имеет бесконечно много
оптимальных решений, соответствующих
точкам, лежащим на стороне многоугольника
D.
Для практического решения задачи линейного программирования (1) – (3) на основе ее геометрической интерпретации необходимо следующее:
1. Построить прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (2), (3) знаков неравенств на знаки равенств.
2. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений.
3. Определить многоугольник решений.
4. Построить нормальный вектор (нормаль) .
5. Построить прямую N, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору .
6. Передвигать прямую N перпендикулярно нормали в ее направлении для поиска максимального значения (или в обратном направлении для поиска минимального значения), в результате чего либо находят точку (точки), в которой функция принимает максимальное (минимальное) значение, либо устанавливают неограниченность функции сверху (снизу) на множестве планов.
7. Определить точки координаты максимума (минимума) функции и вычислить значение целевой функции в этой точке.
Пример №1
Разберем графическое решение задачи о прибыли.
Дана математическая модель задачи линейного программирования:
