2. Этапы обработки результатов геодезических измерений

В процессе обработки совокупности результатов геодезических измерений необходимо последовательно решить следующие основные задачи:

1. Установить отсутствие в совокупности результатов, содержащих грубые ошибки, и исключить их из этой совокупности, если они имеются.

2. Если обработке подлежат различные совокупности (ряды) результатов измерений, выполненных в различных условиях, в разное время или различными наблюдателями, то необходимо предварительно проверить их равноточность (однородность).

3. Произвести математическую обработку совокупности результатов, т. е. оценить действительное значение измеряемой величины и установить показатели точности этой оценки.

4. Осуществить уравнивание результатов геодезических измерений и оценить точность уравненных неизвестных.

Первые две задачи решаются методом статистической проверки гипотез. Суть этого метода состоит в том, что выдвигается нулевая гипотеза относительно результата наблюдений, который вызывает сомнение, и может рассматриваться как грубая ошибка в связи с большим отклонением от других полученных результатов. Нулевая гипотеза заключается в утверждении, что «сомнительный» результат в действительности принадлежит к возможной совокупности результатов измерений, проведенных в данных условиях, и получение такого результата практически вероятно.

Затем, пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутое утверждение (нулевую гипотезу) путем показа его практической невероятности. Если это удается, то нулевую гипотезу отвергают, а результат измерения рассматривают как грубую ошибку и из расчетов исключают, если нет - то результат измерений из расчетов не исключается.

Выбор и использование того или иного критерия основаны на принципе практической уверенности. Для этого задаются достаточно малой вероятностью q того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений. Вероятность q называется уровнем значимости и обычно выбирается равной 0,10, 0,05, 0,01 и т.д.

Для заданного q определяют критическую область значений критерия проверки нулевой гипотезы. Если значение критерия попадает в эту область, то гипотеза отвергается.

Рассмотрим на примерах решение данных задач.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 3

Выявление грубых ошибок и оценка равномерности совокупности результатов геодезических измерений

Так как в подавляющем большинстве случаев действительные значения числовых характеристик результатов измерений не известны, то мы рассмотрим здесь лишь некоторые критерии выявления грубых промахов, основанные на статистических оценках этих параметров.

Критерий Смирнова(Греббса)

,

где Х_Г - результат, вызывающий сомнение, и m - среднее арифметическое и среднеквадратическая погрешность измерения.

Критическая область значений этого критерия определяется из вероятности превышения значения результата порогового уровня Z_q: Р (R_Г > Z_q) = q.

Значение Z_q для случая нормального распределения результатов измерений (и их погрешностей) в зависимости от уровня значимости приведены в табл.3.1. Если при выбранном уровне значимости q и числе измерений N R_Г > Z_q, то результат отбрасывается как содержащий грубую погрешность.

Таблица 3. 1

Значение Z_q для случая нормального распределения результатов измерений в зависимости от уровня значимости q

N	Zq при q
	0,10	0,05	0,025	0,01
3	1,41	1,41	1,41	1,41
5	1,79	1,87	1,92	1,96
10	2,15	2,29	2,42	2,54
20	2,45	2,62	2,78	2,96
25	2,54	2,72	2,88	3,07

Пример № 1. Было приведено пять измерений расстояний между пунктами. Результаты представлены рядом 127,12; 127,21; 126,97; 127,62; 127,24 м.

Результат 127,62 м существенно (на первый взгляд) отличается от остальных. Проверим, не является ли он промахом. Среднее арифметическое значение и среднеквадратическая погрешность измерения для представленного ряда равны: = 127,232 м и m = 0,24 м. Вычислим значение R_Г для х = 127,62 м

.

Из табл. 3. 1 следует, что при любом уровне значимости (q < 0,l) рассматриваемый результат не может быть, отвергнут как промах.

Вариационный критерий Диксона — критерий чрезвычайно удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок). Для пользования им полученные результаты записывают в вариационный возрастающий ряд x₁, х₂, …, х_N (x₁ <х₂<...< х_N).

Критерий Диксона определяется как

.

Критическая область для этого критерия Р(R_Д > Z_q) = q.

Значения Z_q в зависимости от уровня значимости q представлены в табл. 3. 2.

Таблица 3. 2

Значения Z_q в зависимости от уровня значимости q

N	Zq при q				N	Zq при q
	0,10	0,05	0,02	0,01		0,10	0,05	0,02	0,01
4	0,68	0,76	0,85	0.89	12	0,32	0,38	0,44	0,48
5	0,56	0,64	0,73	0,78	14	0,29	0,35	0,41	0,45
6	0,48	0,56	0,64	0,70	16	0,28	0,33	0,39	0,43
7	0,43	0,51	0,60	0,64	18	0,26	0,31	0,37	0,41
8	0,40	0,47	0,54	0,59	20	0,26	0,30	0,36	0,39
9	0,37	0,44	0,51	0,56	25	0,23	0,28	0,33	0,36
10	0,35	0,41	0,48	0,53	30	0,22	0,26	0,31	0,34

Пример № 2. Было приведено пять измерений расстояний между пунктами. Результаты представлены рядом 127,1; 127,2; 126,9; 127,6; 127,2 м.

Составим вариационный ряд из приведенных выше результатов (пример1): 126,9; 127,1;127,2; 127,2; 127,6 м.

Для крайнего члена этого ряда (127,6 м) критерий Диксона имеет следующее значение

.

Как следует из табл. 3. 1, по этому критерию результат 127,6 м может быть отброшен как ошибка при уровне значимости q > 0,05.

Для проверки равноточности двух рядов, состоящих из N₁ и N₂ результатов измерений, вычисляют эмпирические среднеквадратические погрешности для каждого ряда т₁ и т₂.

Затем находят так называемое дисперсионное отношение

, которое составляется так, чтобы .

После этого применяют критерий Романовского

, , .

Результаты наблюдений считаются равноточными, если R < 3.

Пример № 3. В ходе измерений расстояний светодальномером были получены следующие данные (в км): 8,7; 3,7; 6,0; 3,3; 5,1; 6,1; 2,7; 4,9; 3,1; 3,7; 5,7; 4,9; 5,6; 7,6; 4,2; 2,0; 4,0; 6,5; 7,2; 2,7.

Оценить равноточность совокупности результатов геодезических измерений.

Решение. Разбиваем совокупность на два ряда размерностью по 10 результатов. В первый ряд включаем измерения с 1-го по 10-й, во второй - с 11-го по 20-й и вычисляем арифметические средины и среднеквадратические погрешности данных рядов. Они равны

км; км;

=1,84км; =1,8 км.

Вычисляем параметры θ, т(θ) и R

; ; < 3.

Таким образом, совокупность результатов геодезических измерений является равноточной.

Задача № 1. Из вариантов индивидуальных контрольных задач (приложение 1) выбрать вариант, соответствующий порядковому номеру в подгруппе. Выявить грубые ошибки с применением критериев Смирнова и Диксона и оценить равномерность совокупности результатов геодезических измерений. При оценке равномерности совокупности результатов геодезических измерений исходную совокупность разбить на два ряда с числом данных не менее 10.

О т ч е т н ы е м а т е р и а л ы

1. Результаты решения задач.

2. Ответы на контрольные вопросы.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 4

Математическая обработка результатов равноточных измерений

При математической обработке равноточных измерений решаются в совокупности следующие задачи:

1) определение наилучшего значения измеряемой величи­ны в виде простого среднего арифметического значения

,

где x_o – приближенное значение для (обычно минимальное значение x_i),

ε_i = x_i - x_o - остаток.

2) вычисление поправок ν_i = x_i - , контроль вычислений с помощью равенства [ν] = - α٠ N (где α – ошибка округления при вычислении ) и оценка точности результатов равноточных измерений по формуле Бесселя

.

3) оценка среднеквадратической погрешности самой погрешности из выражения

.

4) построение доверительного интервала для истинного значения измеряемого параметра А и среднеквадратической ошибки σ по формулам

, ,

где t_β – коэффициент Стьюдента, определяемый по значению доверительной вероятности β и числу степеней свободы r = N – 1(приложение 2),

γ₁ и γ₂ – коэффициенты, определяемые по значению доверительной вероятности β и числу степеней свободы r = N – 1(приложение 3).

Для компактного размещения промежуточных вычислений по приведенным формулам применяется табличная форма.

Пример № 1. В таблице 4. 1 приведены значения измеренного двенадцатью приемами угла. Выполнить математическую обработку данного ряда измерений.

Решение. Вычисления согласно приведенным формулам выполняем в таблице 4. 1.

Для построения доверительного интервала примем доверительную вероятность β = 0,95 и по числу степеней свободы r = N – 1 = 11 из таблицы коэффициентов Стьюдента (приложение 2) находим коэффициент t_β = 2,2, а из таблицы коэффициентов γ₁ и γ₂ (приложение 3) находим значения γ₁ = 0,708 и γ₂ = 1,698. Доверительный интервал для истинного значения измеряемого параметра и среднеквадратической ошибки будет иметь вид

; .

Иногда результат обработки записывают в виде ± М, т. е. 57⁰23'44,67''± 0,74''.

Таблица 4. 1

Исходные данные и результаты вычислений

№ п/п	Результаты измерений	εi''	νi''	νi2	Контроль
1	57023'44''	+ 4	- 0,7	0,49	α = - = 0,033'' - α ٠N = - 0,033''٠12 = - 0,4'' [ν] = - α ٠N
2	57023'40''	0	- 4,7	22,09
3	57023'43''	+ 3	- 1,7	2,89
4	57023'45''	+ 5	+ 0,3	0,09
5	57023'46''	+ 6	+ 1,3	1,69
6	57023'43''	+ 3	- 1,7	2,89
7	57023'48''	+ 8	+ 3,3	10,89
8	57023'45''	+ 5	+ 0,3	0,09
9	57023'48''	+ 8	+ 3,3	10,89
10	57023'46''	+ 6	+ 1,3	1,69
11	57023'47''	+ 7	+ 2,3	5,29
12	57023'41''	+ 1	- 3,7	13,69
х0 =57023'40''		[ε]/N= =56/12= = 4,67''	[ν] = -0,4	[ν2]=72,68
= 57023'44,67''			= 2,57''
= 57023'44,7''			= ''0,74

Задача № 1. Из вариантов индивидуальных контрольных задач (приложение 4) выбрать вариант, соответствующий порядковому номеру в подгруппе. Выполнить математическую обработку данного ряда измерений.

Если имеем двойные равноточные измерения N величин Х₁, Х₂,…, Х_N и получены результаты: х₁, х₂,…, х_N, и y₁, y₂,…, y_N, то составляем разности d_i = х_i - y_i.

При отсутствии систематических погрешностей эти разности можно рас­сматривать как погрешности величин, истинное значение которых равно 0. Поэтому, применяя формулу Гаусса, имеем

, .

Для среднего значения x_icр= (х_i + y_i)/2 получаем

.

На наличие в d_i постоянной систематической погрешности укажет зна­чительное отклонение от нуля величины

.

В этом случае, рассматривая разности как отклонения от арифметической средины и применяя формулу Бес­селя, получим

.

Формулы для вычисления m_ср и m для данного случая не меняется. Конт­ролем вычислений служит формула [d'] = - α ٠N , где α = θ_окр - θ. Решение об учете или исключении систематической погрешности принимается на основании неравенства , при выполнении которого можно принять гипотезу об отсутствии в разностях d_i постоянной систематической погрешности.

Пример № 2. В табл. 4. 2 даны результаты нивелирования (превышения в м) между точками при двух положениях нивелира. Вычислить среднеквадратические погрешности измерения m и среднего m_ср из двойных измерений.

Таблица 4. 2

Исходные данные и результаты вычислений

Номера превышений	1-е положе­ние xi	2-е положе­ние yi	d, мм	d' = d — θ	d'2
1	+ 1,273	+ 1,270	+ 3	+ 1	1
2	+ 0,987	+ 0,988	- 1	- 3	9
3	+ 1,069	+ 1,065	+ 4	+ 2	4
4	+ 0,542	+ 0,542	0	- 2	4
5	+ 0,768	+ 0,766	+ 2	0	0
6	+ 0,895	+ 0,891	+ 4	+ 2	4
7	+ 1,166	+ 1,167	- 1	- 3	9
8	+ 1,304	+ 1,302	+ 2	0	0
9	+ 1,198	+ 1,194	+ 4	+ 2	4
10	+ 0,484	+ 0,481	+ 3	+ 1	1
			[d] = 20	[d'] = 0	[d'2] = 36
Контроль [d'] = - α ٠N, α = θокр - θ =0, [d'] = 0 0 = 0			[|d|] = 24 Θ=[d]/ N = 2	мм
				мм

Проверим неравенство . Имеем 20> =18,97 ≈ 19, т. е. неравенство не выполняется и необходимо учесть систематическую погрешность θ.

Задача № 2. Из вариантов индивидуальных контрольных задач (приложение 4) выбрать вариант, соответствующий порядковому номеру в подгруппе. Вычислить среднеквадратические погрешности измерения m и среднего m_ср из двойных измерений.

О т ч е т н ы е м а т е р и а л ы

1. Результаты решения задач.

2. Ответы на контрольные вопросы.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 5